(2 pontos) Seja o subespaço gerado pelos vetores abaixo. Escreva como uma soma de um vetor em e outro ortogonal à .
Resposta
Temos:
os vetores u1 e u2 são ortogonais;
y=[r-1 -4 -1 1]
z=y-y=[r-3 1 0 1]
Passo 1
O enunciado pede para escrever y como
y = y + z,
onde y pertence ao subespaço W = spanu1,u2
e z é ortogonal a W.
O conteúdo principal aqui é projeção ortogonal de um vetor num subespaço gerado por vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro a gente verifica que u1 e u2 são ortogonais e então usa a fórmula de projeção sobre cada um:
y = sumi=1^2lang<= y,uirang<=lang<= ui,uirang<=,ui
Para confirmar que z é ortogonal a W, basta checar lang<= z,u1rang<==0 e lang<= z,u2rang<==0. De fato, lang<= z,u1rang<==0 e lang<= z,u2rang<==0, então zperp W.