(2 pontos) Seja W o subespaço gerado pelos vetores u abaixo. Escreva y como uma soma de um vetor em W(y) e outro ortogonal à W(z).
y=[r -4 -3 -1 2 ] ; u1=[r -1 -4 -1 1 ] ; u2=[r -1 -1 3 -2 ]

Resposta

Temos:
  • os vetores u1 e u2 são ortogonais;
  • y=[r-1 -4 -1 1]
  • z=y-y=[r-3 1 0 1]

Passo 1

O enunciado pede para escrever
y como
y = y + z,
onde y pertence ao subespaço
W = spanu1,u2
e z é ortogonal a W.
O conteúdo principal aqui é projeção ortogonal de um vetor num subespaço gerado por vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro a gente verifica que u1 e u2 são ortogonais e então usa a fórmula de projeção sobre cada um:
y = sumi=1^2lang<= y,uirang<=lang<= ui,uirang<=,ui

Passo 3

Calcular os produtos internos com u1:
lang<= y,u1rang<= = (-4)(-1)+(-3)(-4)+(-1)(-1)+(2)(1) = 4+12+1+2 = 19,
lang<= u1,u1rang<= =1+16+1+1 = 19
Logo
proju1(y) = 1919,u1 = u1

Passo 4

Calcular os produtos internos com u2:
lang<= y,u2rang<= = (-4)(-1)+(-3)(-1)+(-1)(3)+(2)(-2) = 4+3-3-4 = 0,
lang<= u2,u2rang<= =1+1+9+4 = 15
Logo
proju2(y) = 015,u2 = 0

Passo 5

Daí ficamos com
y = u1,
e
z = y - y = -4-3-12 - -1-4-11 = -3101

Passo 6

Para confirmar que z é ortogonal a W, basta checar
lang<= z,u1rang<==0 e
lang<= z,u2rang<==0. De fato,
lang<= z,u1rang<==0 e
lang<= z,u2rang<==0, então zperp W.

Resposta

y = -1-4-11,
\quad
z = -3101

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