Em um processo industrial, um equipamento classifica automaticamente peças em três categorias: - Ajustada (AJ) , Regular (RG) e Defeituosa (DF)
As probabilidades de cada categoria dependem dos últimos dígitos da matrícula do aluno, representados por A, B e C, da seguinte forma:
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Um lote de 3 peças é analisado e registram-se apenas as categorias de cada peça, na ordem em que foram analisadas.
Calcule a probabilidade de que a primeira peça seja Regular (RG).
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Calcule a probabilidade de que a primeira peça seja Regular (RG).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
- Há três categorias possíveis para cada peça: Ajustada (AJ), Regular (RG) e Defeituosa (DF).
- Os últimos dígitos da matrícula do aluno são
, e . - As probabilidades de classificação, para qualquer peça individual, são:
- Um lote de 3 peças é analisado e registram-se apenas as categorias na ordem (ou seja, sabemos a ordem das categorias, mas isso não adiciona dados numéricos ao enunciado).
- O que pedem: calcular a probabilidade de que a primeira peça seja Regular (RG).
Passo 2
Definimos variáveis para formalizar: seja
a categoria da primeira peça,
da segunda e
da terceira. Cada
toma valores em
.
O enunciado dá as probabilidades marginais de qualquer (mesmo para a primeira):
O enunciado dá as probabilidades marginais de qualquer
Passo 3
Precisamos justificar por que podemos usar diretamente essa probabilidade para a primeira peça. A ideia é que o equipamento classifica cada peça com as mesmas probabilidades (informadas) e as classificações de peças diferentes não alteram a chance da primeira peça ser RG — isto é, assumimos que as peças são classificadas de forma independente e identicamente distribuída segundo as probabilidades dadas. Essa é uma hipótese natural dada a formulação do problema (não há indicação de dependência entre peças).
Passo 4
Usamos o teorema da probabilidade total para mostrar formalmente que a probabilidade marginal da primeira peça ser RG é a dada por
. Escrevendo a decomposição sobre todos os resultados possíveis das peças 2 e 3:
onde
.
Passo 5
Como as classificações são independentes, a probabilidade condicional
não depende de
e vale a probabilidade marginal de uma peça ser RG. Assim
Substituindo na soma do passo anterior:
Passo 6
A soma das probabilidades conjuntas de todos os pares
é
(porque algum par deve ocorrer). Portanto
Intuitivamente: cada peça, isoladamente, tem probabilidade
de sair Regular; conhecer ou registrar as categorias das outras peças não muda essa chance da primeira peça.