Em um processo industrial, um equipamento classifica automaticamente peças em três categorias: - Ajustada (AJ) , Regular (RG) e Defeituosa (DF)
As probabilidades de cada categoria dependem dos últimos dígitos da matrícula do aluno, representados por A, B e C, da seguinte forma:
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Um lote de 3 peças é analisado e registram-se apenas as categorias de cada peça, na ordem em que foram analisadas.
Calcule a probabilidade de que a primeira peça seja Regular (RG).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
  • Há três categorias possíveis para cada peça: Ajustada (AJ), Regular (RG) e Defeituosa (DF).
  • Os últimos dígitos da matrícula do aluno são A, B e C.
  • As probabilidades de classificação, para qualquer peça individual, são:
P(\text{AJ})=\frac{A}{A+B+C},\qquad P(\text{RG})=\frac{B}{A+B+C},\qquad P(\text{DF})=\frac{C}{A+B+C}.
  • Um lote de 3 peças é analisado e registram-se apenas as categorias na ordem (ou seja, sabemos a ordem das categorias, mas isso não adiciona dados numéricos ao enunciado).
  • O que pedem: calcular a probabilidade de que a primeira peça seja Regular (RG).

Passo 2

Definimos variáveis para formalizar: seja X_1 a categoria da primeira peça, X_2 da segunda e X_3 da terceira. Cada X_i toma valores em \{\mathrm{AJ},\mathrm{RG},\mathrm{DF}\}.
O enunciado dá as probabilidades marginais de qualquer X_i (mesmo para a primeira):
P(X_i=\mathrm{RG})=\frac{B}{A+B+C}\quad\text{para }i=1,2,3.

Passo 3

Precisamos justificar por que podemos usar diretamente essa probabilidade para a primeira peça. A ideia é que o equipamento classifica cada peça com as mesmas probabilidades (informadas) e as classificações de peças diferentes não alteram a chance da primeira peça ser RG — isto é, assumimos que as peças são classificadas de forma independente e identicamente distribuída segundo as probabilidades dadas. Essa é uma hipótese natural dada a formulação do problema (não há indicação de dependência entre peças).

Passo 4

Usamos o teorema da probabilidade total para mostrar formalmente que a probabilidade marginal da primeira peça ser RG é a dada por B/(A+B+C). Escrevendo a decomposição sobre todos os resultados possíveis das peças 2 e 3:
P(X_1=\mathrm{RG})=\sum_{x_2}\sum_{x_3} P(X_1=\mathrm{RG}\mid X_2=x_2,\,X_3=x_3)\,P(X_2=x_2,\,X_3=x_3),
onde x_2,x_3\in\{\mathrm{AJ},\mathrm{RG},\mathrm{DF}\}.

Passo 5

Como as classificações são independentes, a probabilidade condicional P(X_1=\mathrm{RG}\mid X_2=x_2,\,X_3=x_3) não depende de x_2,x_3 e vale a probabilidade marginal de uma peça ser RG. Assim
P(X_1=\mathrm{RG}\mid X_2=x_2,\,X_3=x_3)=\frac{B}{A+B+C}.
Substituindo na soma do passo anterior:
P(X_1=\mathrm{RG})=\frac{B}{A+B+C}\sum_{x_2}\sum_{x_3} P(X_2=x_2,\,X_3=x_3).

Passo 6

A soma das probabilidades conjuntas de todos os pares (X_2,X_3) é 1 (porque algum par deve ocorrer). Portanto
P(X_1=\mathrm{RG})=\frac{B}{A+B+C}\cdot 1=\frac{B}{A+B+C}.
Intuitivamente: cada peça, isoladamente, tem probabilidade \dfrac{B}{A+B+C} de sair Regular; conhecer ou registrar as categorias das outras peças não muda essa chance da primeira peça.

Resposta

\dfrac{B}{A+B+C}

Exercícios relacionados