Em um processo industrial, um equipamento classifica automaticamente peças em três categorias: - Ajustada (AJ) , Regular (RG) e Defeituosa (DF)
As probabilidades de cada categoria dependem dos últimos dígitos da matrícula do aluno, representados por A, B e C, da seguinte forma:
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Um lote de 3 peças é analisado e registram-se apenas as categorias de cada peça, na ordem em que foram analisadas.
Calcule a probabilidade de que exatamente uma peça seja defeituosa (DF).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
  • O equipamento classifica peças em três categorias: AJ, RG e DF.
  • As probabilidades de cada categoria, fixas para cada peça, são
P(AJ)=\frac{A}{A+B+C},\qquad P(RG)=\frac{B}{A+B+C},\qquad P(DF)=\frac{C}{A+B+C},
onde A,B,C são os últimos dígitos da matrícula (presume‑se A+B+C>0).
  • Um lote de 3 peças é analisado e registra‑se apenas a categoria de cada peça, na ordem.
  • A pergunta: calcular a probabilidade de que exatamente uma peça, entre as 3, seja defeituosa ( DF).
  • Informação adicional usada (assunção natural do problema): as classificações das peças são independentes entre si e todas têm as mesmas probabilidades dadas acima (ou seja, são ensaios idênticos e independentes).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
Quando eventos são independentes, a probabilidade de uma sequência de resultados é o produto das probabilidades dos resultados individuais (regra do produto). Aqui queremos exatamente uma ocorrência de DF em 3 ensaios idênticos e independentes. Para isso fazemos dois passos: (i) calcular a probabilidade de uma sequência específica com um DF e dois "não DF"; (ii) multiplicar essa probabilidade pelo número de sequências distintas em que ocorre exatamente um DF (ou seja, escolher a posição do DF). A contagem de posições usa o conceito de combinação: o número de maneiras de escolher 1 posição entre 3 é \binom{3}{1}.

Passo 3

Calcular a probabilidade de DF em um ensaio e de "não DF" em um ensaio:
Defina
p:=P(DF)=\frac{C}{A+B+C}.
Então a probabilidade de "não DF" (ou seja, AJ ou RG) é
1-p=1-\frac{C}{A+B+C}=\frac{A+B}{A+B+C}.
Pela regra do produto, a probabilidade de uma sequência específica com exatamente um DF (por exemplo, DF,\,\text{não }DF,\,\text{não }DFãã) é
p(1-p)(1-p)=p(1-p)^2.

Passo 4

Contar as sequências possíveis com exatamente um DF:
\binom{3}{1}=3 maneiras de escolher em qual das 3 posições aparece o DF. Como as sequências são disjuntas, somamos as probabilidades (ou multiplicamos por 3, pois cada uma tem a mesma probabilidade). Logo a probabilidade pedida é
3\,p(1-p)^2.

Passo 5

Substituindo p=\dfrac{C}{A+B+C} e 1-p=\dfrac{A+B}{A+B+C} na expressão anterior e simplificando:
3\,\frac{C}{A+B+C}\left(\frac{A+B}{A+B+C}\right)^2 = \frac{3C(A+B)^2}{(A+B+C)^3}.
Esse é o resultado final, apresentado de forma fatorada e também já simplificada.

Passo 6

Checagem numérica rápida (exemplo didático): se A=B=C=1 então p=\tfrac{1}{3} e a fórmula dá
3\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9},
o que é consistente com a contagem direta de casos. Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar na prova!

Resposta

\displaystyle \frac{3C(A+B)^2}{(A+B+C)^3}

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