Em um processo industrial, um equipamento classifica automaticamente peças em três categorias: - Ajustada (AJ) , Regular (RG) e Defeituosa (DF)
As probabilidades de cada categoria dependem dos últimos dígitos da matrícula do aluno, representados por A, B e C, da seguinte forma:
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Um lote de 3 peças é analisado e registram-se apenas as categorias de cada peça, na ordem em que foram analisadas.
Calcule a probabilidade de que exatamente uma peça seja defeituosa (DF).
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Calcule a probabilidade de que exatamente uma peça seja defeituosa (DF).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
- O equipamento classifica peças em três categorias:
, e . - As probabilidades de cada categoria, fixas para cada peça, são
onde
são os últimos dígitos da matrícula (presume‑se
).
- Um lote de 3 peças é analisado e registra‑se apenas a categoria de cada peça, na ordem.
- A pergunta: calcular a probabilidade de que exatamente uma peça, entre as 3, seja defeituosa (
). - Informação adicional usada (assunção natural do problema): as classificações das peças são independentes entre si e todas têm as mesmas probabilidades dadas acima (ou seja, são ensaios idênticos e independentes).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
Quando eventos são independentes, a probabilidade de uma sequência de resultados é o produto das probabilidades dos resultados individuais (regra do produto). Aqui queremos exatamente uma ocorrência de em 3 ensaios idênticos e independentes. Para isso fazemos dois passos: (i) calcular a probabilidade de uma sequência específica com um
e dois "não
"; (ii) multiplicar essa probabilidade pelo número de sequências distintas em que ocorre exatamente um
(ou seja, escolher a posição do
). A contagem de posições usa o conceito de combinação: o número de maneiras de escolher 1 posição entre 3 é
.
Quando eventos são independentes, a probabilidade de uma sequência de resultados é o produto das probabilidades dos resultados individuais (regra do produto). Aqui queremos exatamente uma ocorrência de
Passo 3
Calcular a probabilidade de
em um ensaio e de "não
" em um ensaio:
Defina
Defina
Então a probabilidade de "não
" (ou seja,
ou
) é
Pela regra do produto, a probabilidade de uma sequência específica com exatamente um
(por exemplo,
) é
Passo 4
Contar as sequências possíveis com exatamente um
:
Há maneiras de escolher em qual das 3 posições aparece o
. Como as sequências são disjuntas, somamos as probabilidades (ou multiplicamos por 3, pois cada uma tem a mesma probabilidade). Logo a probabilidade pedida é
Há
Passo 5
Substituindo
e
na expressão anterior e simplificando:
Esse é o resultado final, apresentado de forma fatorada e também já simplificada.
Passo 6
Checagem numérica rápida (exemplo didático): se
então
e a fórmula dá
o que é consistente com a contagem direta de casos. Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar na prova!