Utilize a transformação u=x+2 y, v=x-y para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{2}{3}} \int_{y}^{2-2 y}(x+2 y) \mathrm{e}^{(y-x)} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\frac{2}{3}} \int_{y}^{2-2 y}(x+2 y) \mathrm{e}^{(y-x)} \, d x \, d y
usando a transformação dada
u=x+2y,\quad v=x-y.
Informações fornecidas:
  • A função integranda é (x+2y)\mathrm{e}^{(y-x)}.
  • O domínio de integração em (x,y) é dado por 0\le y\le \tfrac{2}{3} e, para cada y, y\le x\le 2-2y.
  • A substituição a usar é \;u=x+2y\; e \;v=x-y\;.

Passo 2

Vamos expressar x\) e \(y\) em função de \(u\) e \(v\) (inversa da transformação). Temos o sistema \[\begin{cases} u = x + 2y,\\[4pt] v = x - y. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
u - v = (x+2y) - (x-y) = 3y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{u-v}{3}.
Substituindo em (v=x-y]:
x = v + y = v + \frac{u-v}{3} = \frac{u+2v}{3}.
Portanto
x=\frac{u+2v}{3},\qquad y=\frac{u-v}{3}.]

Passo 3

Precisamos do Jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{3},\quad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{2}{3},\quad \frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{3},\quad \frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{1}{3}.
O determinante é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\[4pt] \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} = \frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}.
Tomamos o valor absoluto para a mudança de variável:
\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{3},
logo dx\,dy=\dfrac{1}{3}\,du\,dv.]

Passo 4

Transformamos a integranda em termos de u,v. Observe:
x+2y = u,
e
y-x = -(x-y) = -v.
Assim
(x+2y)\mathrm{e}^{(y-x)} = u\,\mathrm{e}^{-v}.
Com o Jacobiano, o elemento de área vira \dfrac{1}{3}\,du\,dv. Portanto a integranda transformada é
u\,\mathrm{e}^{-v}\cdot\frac{1}{3}.

Passo 5

Agora mapeamos o domínio original para o plano (u,v). As fronteiras do domínio original:
  • Linha x=y: substituindo em (u,v) obtemos v=0 e u=3y. Como y varia de 0 a \tfrac{2}{3}, u varia de 0 a 2. Logo essa fronteira corresponde ao segmento \{v=0,\;0\le u\le 2\}.
  • Linha x=2-2y: substituindo em u u=2 (constante). Para y\in[0,\tfrac{2}{3}] obtemos v=2-3y, que varia de 2 até 0. Então essa fronteira é \{u=2,\;0\le v\le 2\}.
  • Linha y=0: substituindo em (u,v) u=x,\;v=x, ou seja u=v com 0\le u=v\le 2.
Desenhando mentalmente essas curvas, o domínio em (u,v) é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (2,2). Uma descrição conveniente é
0\le v\le u\le 2.

Passo 6

Escrevemos a integral na nova variável com os limites encontrados. Usando a ordem du externo e dv interno (outra ordem também serve), temos
\iint (x+2y)\mathrm{e}^{(y-x)}\,dx\,dy = \int_{u=0}^{2}\int_{v=0}^{u} \frac{1}{3}\,u\,\mathrm{e}^{-v}\,dv\,du.

Passo 7

Calcule a integral interna em v:
\int_{v=0}^{u} \mathrm{e}^{-v}\,dv = \bigl[-\mathrm{e}^{-v}\bigr]_{0}^{u} = 1 - \mathrm{e}^{-u}.
Multiplicando por u e pelo fator \tfrac{1}{3}, a integral torna-se
\frac{1}{3}\int_{0}^{2} u\bigl(1-\mathrm{e}^{-u}\bigr)\,du.

Passo 8

Separamos em duas integrais e calculamos:
\int_{0}^{2} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{2}=2.
Para \displaystyle \int_{0}^{2} u\,\mathrm{e}^{-u}\,du usamos integração por partes. Tomando a=u e db=\mathrm{e}^{-u}du (logo da=du,\;b=-\mathrm{e}^{-u}), obtemos a primitiva
\int u\,\mathrm{e}^{-u}\,du = -(u+1)\mathrm{e}^{-u}+C.
Assim
\int_{0}^{2} u\,\mathrm{e}^{-u}\,du = \bigl[-(u+1)\mathrm{e}^{-u}\bigr]_{0}^{2} = \bigl[-3\mathrm{e}^{-2}\bigr] - \bigl[-1\bigr] = 1 - 3\mathrm{e}^{-2}.
Substituindo em \dfrac{1}{3}\bigl(\int_{0}^{2}u\,du - \int_{0}^{2}u\,\mathrm{e}^{-u}du\bigr) obtemos
\frac{1}{3}\left[2 - \bigl(1 - 3\mathrm{e}^{-2}\bigr)\right].

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\;+\; \mathrm{e}^{-2}

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