Utilize a transformação u=x+2 y, v=x-y para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{2}{3}} \int_{y}^{2-2 y}(x+2 y) \mathrm{e}^{(y-x)} d x d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\frac{2}{3}} \int_{y}^{2-2 y}(x+2 y) \mathrm{e}^{(y-x)} \, d x \, d y
usando a transformação dada
u=x+2y,\quad v=x-y.
Informações fornecidas:
A função integranda é (x+2y)\mathrm{e}^{(y-x)}.
O domínio de integração em (x,y) é dado por 0\le y\le \tfrac{2}{3} e, para cada y, y\le x\le 2-2y.
A substituição a usar é \;u=x+2y\; e \;v=x-y\;.
Passo 2
Vamos expressar x\) e \(y\) em função de \(u\) e \(v\) (inversa da transformação). Temos o sistema
\[\begin{cases} u = x + 2y,\\[4pt] v = x - y. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
u - v = (x+2y) - (x-y) = 3y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{u-v}{3}.
Substituindo em (v=x-y]: x = v + y = v + \frac{u-v}{3} = \frac{u+2v}{3}.
Portanto x=\frac{u+2v}{3},\qquad y=\frac{u-v}{3}.]
Passo 3
Precisamos do Jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. Calculamos as derivadas parciais:
Transformamos a integranda em termos de u,v. Observe:
x+2y = u,
e
y-x = -(x-y) = -v.
Assim
(x+2y)\mathrm{e}^{(y-x)} = u\,\mathrm{e}^{-v}.
Com o Jacobiano, o elemento de área vira \dfrac{1}{3}\,du\,dv. Portanto a integranda transformada é
u\,\mathrm{e}^{-v}\cdot\frac{1}{3}.
Passo 5
Agora mapeamos o domínio original para o plano (u,v). As fronteiras do domínio original:
Linha x=y: substituindo em (u,v) obtemos v=0 e u=3y. Como y varia de 0 a \tfrac{2}{3}, u varia de 0 a 2. Logo essa fronteira corresponde ao segmento \{v=0,\;0\le u\le 2\}.
Linha x=2-2y: substituindo em u dá u=2 (constante). Para y\in[0,\tfrac{2}{3}] obtemos v=2-3y, que varia de 2 até 0. Então essa fronteira é \{u=2,\;0\le v\le 2\}.
Linha y=0: substituindo em (u,v) dá u=x,\;v=x, ou seja u=v com 0\le u=v\le 2.
Desenhando mentalmente essas curvas, o domínio em (u,v) é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (2,2). Uma descrição conveniente é
0\le v\le u\le 2.
Passo 6
Escrevemos a integral na nova variável com os limites encontrados. Usando a ordem du externo e dv interno (outra ordem também serve), temos
Para \displaystyle \int_{0}^{2} u\,\mathrm{e}^{-u}\,du usamos integração por partes. Tomando a=u e db=\mathrm{e}^{-u}du (logo da=du,\;b=-\mathrm{e}^{-u}), obtemos a primitiva