(2, opontos) Seja V o espaço vetorial das funções reais contínuas. Mostre que o conjunto \left\{e^{x}, e^{-x}\right\}, onde e é o número de Euler (base dos logaritmos naturais), é LI.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V das funções reais contínuas e o conjunto \{e^{x},\,e^{-x}\}. A tarefa é mostrar que esse conjunto é linearmente independente (LI).
Informações relevantes fornecidas:
  • O conjunto a provar LI é \{e^{x},\,e^{-x}\}.
  • As funções são definidas para todo x\in\mathbb{R} e são contínuas (na verdade são C^\infty, mas só a continuidade já garante que igualdade de funções significa igualdade ponto a ponto).
    O que o exercício pede: provar que não existem escalares a,b\in\mathbb{R}, não simultaneamente nulos, tais que a combinação linear a e^{x}+b e^{-x} seja a função zero (isto é, igual a zero para todo x).

Passo 2

Definição explícita e plano de prova (bem mastigado). Uma família \{f_1,f_2\} de funções é linearmente independente se, sempre que existam escalares c_1,c_2 tais que
c_1 f_1(x)+c_2 f_2(x)=0\quad\text{para todo }x,
então necessariamente c_1=c_2=0.
Plano simples e direto: assumir que existem a,b\in\mathbb{R} com
a e^{x}+b e^{-x}=0\quad\text{para todo }x,
e mostrar, escolhendo dois valores distintos de x, que isso força a=b=0. Esse método é elementar (só usa avaliação de funções em pontos) e costuma ser o mais prático em provas.

Passo 3

Começo do argumento. Suponha que existam a,b\in\mathbb{R} tal que, para todo x\in\mathbb{R},
a e^{x}+b e^{-x}=0.
Isto significa que a função x\mapsto a e^{x}+b e^{-x} é a função zero, logo sua igualdade vale ponto a ponto; em particular podemos avaliar a igualdade em quaisquer x que quisermos.

Passo 4

Avaliar em x=0. Como e^{0}=1 e e^{-0}=1, obtemos a equação
a\cdot 1 + b\cdot 1 = 0,
ou seja
a+b=0. \tag{1}

Passo 5

Avaliar em x=1. Como e^{1}=e e e^{-1}=e^{-1}, a hipótese dá
a e + b e^{-1} = 0. \tag{2}

Passo 6

Resolver o sistema formado por (1) e (2). Da equação (1) temos a=-b. Substituindo em (2):
(-b) e + b e^{-1} = 0.
Fatorando b:
b\bigl(-e + e^{-1}\bigr)=0.
Agora note que -e + e^{-1}=e^{-1}-e\neq 0 porque e>1 implica e^{-1}=\tfrac{1}{e}<1, então e^{-1}\neq e. Portanto o fator \bigl(-e+e^{-1}\bigr) é um número real diferente de zero, e a única solução da equação acima é
b=0.
Com b=0 e a=-b segue a=0. Assim a=b=0.

Passo 7

Conclusão lógica. Mostramos que se uma combinação linear a e^{x}+b e^{-x} é a função zero então necessariamente a=b=0. Isso é exatamente a condição de linear independência. Portanto \{e^{x},\,e^{-x}\} é linearmente independente.

Passo 8

Comentário didático / alternativa rápida (útil na prova). Uma alternativa é usar o Wronskiano: para f_1(x)=e^{x} e f_2(x)=e^{-x} tem-se
W(f_1,f_2)(x)=\det\begin{pmatrix}e^{x} & e^{-x}\\[4pt] e^{x} & -e^{-x}\end{pmatrix} = e^{x}(-e^{-x}) - e^{-x} e^{x} = -1-1 = -2,
que é diferente de zero para todo x. Pelo teste do Wronskiano (funções diferenciáveis), se o Wronskiano é não nulo em algum ponto então as funções são linearmente independentes. Esse método é curto quando se conhece derivadas e determinante, mas o método de avaliar em dois pontos é suficiente e só usa álgebra básica.]

Resposta

O conjunto \{e^{x},\,e^{-x}\} é linearmente independente.

Exercícios relacionados