Questão 5 (2 pts) Sabendo que
é um conjunto L.I., defina os vetores
e
. Verifique que
é L.I.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do próprio enunciado):
- O conjunto
é linearmente independente. - Definem-se os vetores
e .
O que se pede:
- Verificar (mostrar) que o conjunto
também é linearmente independente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar direitinho a definição de independência linear (para eu e você ficarmos confortáveis com a linguagem): um conjunto de vetores
é linearmente independente se, sempre que
então necessariamente todos os escalares são nulos:
Em palavras: a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). Isso é o que vamos usar.
Passo 3
Estratégia padrão: assumir uma combinação linear qualquer de
e
que dê o vetor zero, escrever essa combinação em termos de
e
e usar a independência de
para forçar os coeficientes a serem zero.
Começamos supondo que existam escalares
tais que
Passo 4
Substituímos
e
na combinação:
Agrupando termos com
e
obtemos
Passo 5
Agora usamos a hipótese crucial:
é linearmente independente. Pela definição (Passo 2), a única maneira de uma combinação
ser verdade é que
. Comparando com a expressão anterior, os coeficientes devem satisfazer
Passo 6
Resolvemos o sistema para
. Somando as duas equações:
Substituindo
em
vem
Portanto os únicos escalares
que tornam
são
.
Passo 7
Concluímos, pela definição de independência linear, que
é linearmente independente, pois apenas a combinação trivial dá o vetor zero. (Se quiser pensar de outro jeito: a transformação que leva as coordenadas em base
para as coordenadas em
tem matriz
com determinante
, logo é invertível e preserva independência — só uma observação alternativa, não necessária no exame.)