Questão 5 (2 pts) Sabendo que \{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\} é um conjunto L.I., defina os vetores \mathbf{v}=\mathbf{u}_{1}+\mathbf{u}_{2} e \mathbf{w}=\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}. Verifique que \{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} é L.I.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do próprio enunciado):
  • O conjunto \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\} é linearmente independente.
  • Definem-se os vetores \mathbf{v}=\mathbf{u}_{1}+\mathbf{u}_{2} e \mathbf{w}=\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}.
O que se pede:
  • Verificar (mostrar) que o conjunto \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} também é linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar direitinho a definição de independência linear (para eu e você ficarmos confortáveis com a linguagem): um conjunto de vetores \{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n\} é linearmente independente se, sempre que
c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_n\mathbf{x}_n = \mathbf{0},
então necessariamente todos os escalares são nulos:
c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0.
Em palavras: a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). Isso é o que vamos usar.

Passo 3

Estratégia padrão: assumir uma combinação linear qualquer de \mathbf{v} e \mathbf{w} que dê o vetor zero, escrever essa combinação em termos de \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2 e usar a independência de \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} para forçar os coeficientes a serem zero.
Começamos supondo que existam escalares \alpha,\beta tais que
\alpha\,\mathbf{v} + \beta\,\mathbf{w} = \mathbf{0}.

Passo 4

Substituímos \mathbf{v}=\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2 e \mathbf{w}=\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2 na combinação:
\alpha(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) + \beta(\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2) = \mathbf{0}.
Agrupando termos com \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2 obtemos
(\alpha+\beta)\mathbf{u}_1 + (\alpha-\beta)\mathbf{u}_2 = \mathbf{0}.

Passo 5

Agora usamos a hipótese crucial: \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} é linearmente independente. Pela definição (Passo 2), a única maneira de uma combinação
c_1\mathbf{u}_1 + c_2\mathbf{u}_2 = \mathbf{0}
ser verdade é que c_1=c_2=0. Comparando com a expressão anterior, os coeficientes devem satisfazer
\alpha+\beta = 0 \qquad\text{e}\qquad \alpha-\beta = 0.

Passo 6

Resolvemos o sistema para \alpha,\beta. Somando as duas equações:
(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta) = 0+0 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 0.
Substituindo \alpha=0 em \alpha+\beta=0 vem
0+\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \beta = 0.
Portanto os únicos escalares \alpha,\beta que tornam \alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}=\mathbf{0} são \alpha=\beta=0.

Passo 7

Concluímos, pela definição de independência linear, que \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} é linearmente independente, pois apenas a combinação trivial dá o vetor zero. (Se quiser pensar de outro jeito: a transformação que leva as coordenadas em base \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} para as coordenadas em \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} tem matriz \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} com determinante -2\neq0, logo é invertível e preserva independência — só uma observação alternativa, não necessária no exame.)

Resposta

\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} é L.I.

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