(5 pontos) Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e o intervalo de convergência.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada.
Informações fornecidas: a série é
Informações fornecidas: a série é
Aqui, os coeficientes da potência
são
.
O que precisamos entregar: o valor do raio de convergência e o intervalo (conjunto de
reais) onde a série converge.
O que precisamos entregar: o valor do raio de convergência
Passo 2
Estratégia e fórmula chave (explicando o que vou usar): para séries de potências
uma maneira padrão de achar o raio de convergência é usar a fórmula
Explicando essa fórmula de forma simples:
mede, em média, o crescimento exponencial dos coeficientes; se
então a série converge absolutamente para
e diverge para
, logo
. Outra maneira equivalente é usar o teste da razão, mas aqui o teste da raiz (a fórmula acima) é direto e limpo.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos
. Calculo
Agora preciso do
(que aqui é limite) quando
. Para avaliar
uso o truque do logaritmo: escrevo
Como
quando
, segue que
e portanto
Logo
Passo 4
Com isso, pelo passo 2, o raio de convergência é
Interpretação: a série converge absolutamente para
e diverge para
. Agora falta analisar os pontos finais
e
, porque nesses pontos o teste da raiz não decide, e precisamos testar convergência ponto a ponto.
Passo 5
Testando o extremo
: substituindo na série obtemos
Isto é uma série p com expoente
. Lembrete didático sobre séries p: a série
converge se, e somente se,
. Aqui
, portanto a série converge (na verdade converge absolutamente). Conclusão: a série converge em
.
Passo 6
Testando o extremo
: substituindo,
O módulo dos termos é
, que já sabemos formar uma série convergente. Assim a série em
converge absolutamente (logo converge). Alternativa: mesmo sem observar absoluta convergência, poderíamos aplicar o teste de Leibniz, mas aqui a absoluta convergência é imediata porque
converge.
Passo 7
Conclusão final combinando tudo: o raio de convergência é
e ambos os extremos pertencem ao intervalo de convergência, portanto o intervalo de convergência é o intervalo fechado
. Vai dar tudo certo na prova — lembra: a ideia é achar crescimento exponencial dos coeficientes (aqui o
) e checar os extremos com testes simples (p-série/Leibniz).
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: