(5 pontos) Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e o intervalo de convergência.
a) (2,5) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} x^{n}}{\sqrt{n^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada.
Informações fornecidas: a série é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} x^{n}}{\sqrt{n^{3}}}.
Aqui, os coeficientes da potência x^{n} são \displaystyle a_{n}=\frac{2^{n}}{\sqrt{n^{3}}}=\frac{2^{n}}{n^{3/2}}.
O que precisamos entregar: o valor do raio de convergência R e o intervalo (conjunto de x reais) onde a série converge.

Passo 2

Estratégia e fórmula chave (explicando o que vou usar): para séries de potências \sum a_{n} x^{n} uma maneira padrão de achar o raio de convergência é usar a fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_{n}|^{1/n}}.
Explicando essa fórmula de forma simples: |a_{n}|^{1/n} mede, em média, o crescimento exponencial dos coeficientes; se \limsup |a_{n}|^{1/n}=L então a série converge absolutamente para |x|<1/L e diverge para |x|>1/L, logo R=1/L. Outra maneira equivalente é usar o teste da razão, mas aqui o teste da raiz (a fórmula acima) é direto e limpo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos \displaystyle a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{3/2}}. Calculo
|a_{n}|^{1/n}=\left(\frac{2^{n}}{n^{3/2}}\right)^{1/n}=2\cdot n^{-3/(2n)}.
Agora preciso do \limsup (que aqui é limite) quando n\to\infty. Para avaliar \displaystyle n^{-3/(2n)} uso o truque do logaritmo: escrevo
n^{-3/(2n)}=\exp\!\bigg(-\frac{3}{2n}\ln n\bigg).
Como \displaystyle \frac{\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue que \displaystyle -\frac{3}{2n}\ln n\to 0 e portanto
\lim_{n\to\infty} n^{-3/(2n)} = e^{0}=1.
Logo
\limsup_{n\to\infty}|a_{n}|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}2\cdot n^{-3/(2n)}=2\cdot 1=2.

Passo 4

Com isso, pelo passo 2, o raio de convergência é
R=\frac{1}{2}.
Interpretação: a série converge absolutamente para |x|<\dfrac{1}{2} e diverge para |x|>\dfrac{1}{2}. Agora falta analisar os pontos finais \;x=\dfrac{1}{2}\; e \;x=-\dfrac{1}{2}\;, porque nesses pontos o teste da raiz não decide, e precisamos testar convergência ponto a ponto.

Passo 5

Testando o extremo x=\dfrac{1}{2}: substituindo na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{n^{3/2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}.
Isto é uma série p com expoente p=\dfrac{3}{2}. Lembrete didático sobre séries p: a série \sum \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\dfrac{3}{2}>1, portanto a série converge (na verdade converge absolutamente). Conclusão: a série converge em x=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Testando o extremo x=-\dfrac{1}{2}: substituindo,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{n^{3/2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3/2}}.
O módulo dos termos é \dfrac{1}{n^{3/2}}, que já sabemos formar uma série convergente. Assim a série em x=-\dfrac{1}{2} converge absolutamente (logo converge). Alternativa: mesmo sem observar absoluta convergência, poderíamos aplicar o teste de Leibniz, mas aqui a absoluta convergência é imediata porque \sum 1/n^{3/2} converge.

Passo 7

Conclusão final combinando tudo: o raio de convergência é R=\dfrac{1}{2} e ambos os extremos pertencem ao intervalo de convergência, portanto o intervalo de convergência é o intervalo fechado \left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]. Vai dar tudo certo na prova — lembra: a ideia é achar crescimento exponencial dos coeficientes (aqui o 2^{n}) e checar os extremos com testes simples (p-série/Leibniz).

Resposta

Raio de convergência: \dfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: \left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]

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