Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
\frac{d y}{d x}=x e^{x}, y(1)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Especificamente:
  • A equação diferencial é \dfrac{d y}{d x} = x e^{x}.
  • A condição inicial é y(1)=2.
    O que o problema pede: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.

Passo 2

Observação e ideia principal (explicação didática): quando temos uma equação da forma \dfrac{d y}{d x}=f(x), a derivada de y depende somente de x. Nesse caso podemos “integrar ambos os lados” em relação a x para recuperar y. Isso funciona porque integrar a derivada nos dá a função mais uma constante arbitrária. Em fórmula:
\int \dfrac{d y}{d x}\,dx = \int f(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad y = \int f(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Aqui f(x)=x e^{x}.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso:
\int \dfrac{d y}{d x}\,dx = \int x e^{x}\,dx.
No lado esquerdo obtemos y. Logo a solução geral será
y = \int x e^{x}\,dx + C.
Agora precisamos calcular a integral \int x e^{x}\,dx.

Passo 4

Cálculo da integral \displaystyle \int x e^{x}\,dx (método e explicação): aqui é natural usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de forma que du e v sejam fáceis de obter. Fazemos a escolha clássica:
  • u = x du = dx,
  • dv = e^{x}\,dx v = e^{x}.
    Agora aplicamos a fórmula:
\int x e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.
A integral \int e^{x}\,dx é simplesmente e^{x}, então
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.
(Dica prática: muitas integrais do tipo "polinômio vezes e^{x}" pedem integração por partes aplicando essa escolha.)

Passo 5

Portanto a solução geral da equação diferencial é
y(x) = e^{x}(x-1) + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=2 para determinar C. Substituímos x=1 em y(x):
y(1) = e^{1}(1-1) + C = e \cdot 0 + C = C.
A condição diz que y(1)=2, então C=2.

Passo 7

Substituindo C=2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x) = e^{x}(x-1) + 2.
Verificação rápida (útil na prova): derivando para checar a equação original,
\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}(x-1)+2\bigr) = e^{x}(x-1) + e^{x}\cdot 1 = x e^{x},
logo a derivada confere com o lado direito dado, e a condição inicial também foi satisfeita.

Resposta

y(x)=e^{x}(x-1)+2

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