Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Especificamente:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
.
O que o problema pede: encontrar a funçãoque satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 2
Observação e ideia principal (explicação didática): quando temos uma equação da forma
, a derivada de
depende somente de
. Nesse caso podemos “integrar ambos os lados” em relação a
para recuperar
. Isso funciona porque integrar a derivada nos dá a função mais uma constante arbitrária. Em fórmula:
onde
é a constante de integração. Aqui
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso:
No lado esquerdo obtemos
. Logo a solução geral será
Agora precisamos calcular a integral
.
Passo 4
Cálculo da integral
(método e explicação): aqui é natural usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
onde escolhemos
e
de forma que
e
sejam fáceis de obter. Fazemos a escolha clássica:
-
⇒ , -
⇒ .
Agora aplicamos a fórmula:
A integral
é simplesmente
, então
(Dica prática: muitas integrais do tipo "polinômio vezes
" pedem integração por partes aplicando essa escolha.)
Passo 5
Portanto a solução geral da equação diferencial é
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Aplicando a condição inicial
para determinar
. Substituímos
em
:
A condição diz que
, então
.
Passo 7
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Verificação rápida (útil na prova): derivando para checar a equação original,
logo a derivada confere com o lado direito dado, e a condição inicial também foi satisfeita.