Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial. Dados:
e
Observações importantes vindas do enunciado:
só está definido para
, então estamos procurando soluções válidas em
. A pergunta é: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial para integrarmos ela diretamente. A notação
pode ser manipulada separando os diferenciais:
Isto significa que, para obter
, integramos ambos os lados em relação a
:
Explico a ideia: integrar
nos dá
mais constante; integrar o lado direito exige conhecer a primitiva de
.
Passo 3
Para calcular
usamos a substituição simples que é padrão para integrais com
. Definimos
Então derivando, obtemos
mas o que nos interessa é ver que
. Assim a integral vira uma integral em
:
Isso simplifica muito: trocar de variável transforma a expressão complicada numa integral polinomial.
Passo 4
Agora integramos
. A regra básica para integrais de potências diz que
, onde
é a constante de integração. Voltando à variável original
usando
, obtemos a primitiva
Portanto, a solução geral da equação diferencial é
onde
é constante real e o domínio é
.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial para determinar
. A condição é
. Primeiro calcule
. Como
e a exponenciação são funções inversas,
Substituindo na solução geral:
A condição pede que isso valha
, logo
Passo 6
Resolvendo para
, temos
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução particular temos
o que coincide com a equação dada. Então está tudo coerente. Vai dar certo na prova — você já fez o passo mais importante!