Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{\ln x}{x}, y\left(e^{2}\right)=6

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial. Dados:
\frac{d y}{d x}=\frac{\ln x}{x}
e
y\!\left(e^{2}\right)=6.
Observações importantes vindas do enunciado: \ln x só está definido para x>0, então estamos procurando soluções válidas em x>0. A pergunta é: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial para integrarmos ela diretamente. A notação \frac{dy}{dx} pode ser manipulada separando os diferenciais:
dy=\frac{\ln x}{x}\,dx.
Isto significa que, para obter y(x), integramos ambos os lados em relação a x:
\int dy=\int \frac{\ln x}{x}\,dx.
Explico a ideia: integrar dy nos dá y mais constante; integrar o lado direito exige conhecer a primitiva de \frac{\ln x}{x}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx usamos a substituição simples que é padrão para integrais com \ln x. Definimos
u=\ln x.
Então derivando, obtemos
du=\frac{1}{x}\,dx\quad\text{ou}\quad dx = x\,du,
mas o que nos interessa é ver que \frac{1}{x}\,dx=du. Assim a integral vira uma integral em u:
\int \frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du.
Isso simplifica muito: trocar de variável transforma a expressão complicada numa integral polinomial.

Passo 4

Agora integramos \int u\,du. A regra básica para integrais de potências diz que \int u\,du=\tfrac{u^{2}}{2}+C, onde C é a constante de integração. Voltando à variável original x usando u=\ln x, obtemos a primitiva
\int \frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C.
Portanto, a solução geral da equação diferencial é
y(x)=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C,
onde C é constante real e o domínio é x>0.

Passo 5

Agora usamos a condição inicial para determinar C. A condição é y\!\left(e^{2}\right)=6. Primeiro calcule \ln\!\left(e^{2}\right). Como \ln e a exponenciação são funções inversas,
\ln\!\left(e^{2}\right)=2.
Substituindo na solução geral:
y\!\left(e^{2}\right)=\frac{(\ln(e^{2}))^{2}}{2}+C=\frac{2^{2}}{2}+C=\frac{4}{2}+C=2+C.
A condição pede que isso valha 6, logo
2+C=6.

Passo 6

Resolvendo para C, temos
C=6-2=4.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+4,\qquad x>0.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução particular temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cdot 2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{\ln x}{x},
o que coincide com a equação dada. Então está tudo coerente. Vai dar certo na prova — você já fez o passo mais importante!

Resposta

y(x)=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+4,\; x>0

Exercícios relacionados