Pontos Singulares / Frobenius. Verifique se os pontos indicados são singulares:
Verifique se
e
são singulares da EDO:
Verifique se
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede para verificar se
e
são pontos singulares.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficiente do
(termo líder) é . - Coeficiente do
é . - Coeficiente de
é . - As duas perguntas explícitas: verificar se
é ponto singular; verificar se é ponto singular.
Passo 2
Primeiro, preciso lembrar (e te explicar) o que significa ponto singular e ponto singular regular, porque é isso que vamos usar passo a passo.
-
Um ponto
é dito ponto ordinário (não singular) se o coeficiente do não se anula em , isto é, se . Caso contrário, se , dizemos que é um ponto singular da EDO. -
Para classificar um ponto singular como regular (ou singular regular) usamos a EDO na forma padrão
obtida dividindo tudo por
. Então
Um ponto singular
é regular se as funções
e
têm limite finito (ou são analíticas) em
. Se pelo menos uma dessas não for finita, o ponto singular é irregular.
Essas são as condições que vou checar para
e
.
Passo 3
Coloco a EDO na forma padrão e escrevo
e
.
Dividindo por
,
Logo
Observe também que
se anula exatamente em
. Portanto
e
são pontos singulares (já que o coeficiente do
é zero ali). Agora resta classificar: são regulares ou irregulares?
Passo 4
Verificação em
.
Preciso calcular os limites
Calculo explícito usando fatoração
.
Para
:
Portanto
valor finito.
Para
:
Logo
também finito.
Como ambos os limites são finitos,
é um ponto singular regular.
Passo 5
Verificação em
.
Agora calculo os limites
Usando novamente
:
Para
:
Portanto
valor finito.
Para
:
Logo
também finito.
Como ambos os limites são finitos,
é um ponto singular regular.
Passo 6
Resumo e consequência prática (aquela dica amiga para a prova):
- Constatei que
, portanto são pontos singulares. - Verifiquei que em ambos os pontos
e têm limites finitos: em cada um dos pontos o limite de vale e o de vale . Logo ambos são pontos singulares regulares.
Isto significa que o método de Frobenius pode ser aplicado em torno de
e também em torno de
. (Como observação adicional: os valores limites
e
entram na equação indicial. Aqui a equação indicial seria
, ou seja
, raiz dupla
. Isso indica possibilidade de termo logarítmico na segunda solução — só para você ficar ligado na prova.)