Pontos Singulares / Frobenius. Verifique se os pontos indicados são singulares:
Verifique se
é ponto singular da EDO:
Verifique se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é ponto singular da EDO
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- Coeficientes da EDO na forma geral
: -
, -
, -
.
-
- Pergunta: determinar se
é ponto singular; e, quando pertinente, classificar se é singular regular (onde o método de Frobenius pode ser usado) ou singular irregular.
Passo 2
Critério básico (explicação didática): para uma EDO linear de segunda ordem da forma
um ponto
é
- ponto ordinário se
; - ponto singular se
.
Intuição: para escrever a EDO na forma padrão
é preciso dividir por
. Se
não é possível obter coeficientes
finitos em
, por isso o ponto é singular.
Aplicando ao caso:
. Logo
é, de fato, um ponto singular da equação.
Passo 3
Classificação mais refinada (regular vs irregular) e condição de Frobenius (aula curta):
- Após dividir por
obtemos a forma padrão com e . - O ponto
é um singular regular (ou ponto regular singular) se tem, em , no máximo polo simples e tem, em , no máximo polo de segunda ordem. Uma forma prática do critério: -
deve ser analítica (finita) em ; -
deve ser analítica (finita) em .
-
- Se qualquer uma dessas quantidades tiver polo de ordem maior, então
é singular irregular e o método de Frobenius (que exige singular regular) não se aplica diretamente.
Passo 4
Colocar a EDO na forma padrão e calcular
e
: dividir a equação original por
(válido para
, mas serve para analisar o comportamento ao redor de
):
Portanto
Passo 5
Aplicar o teste de regularidade (calcular
e
e ver se são analíticas em
):
Ambas as funções apresentam polo simples em
(têm comportamento como
), portanto não são analíticas (não são finitas) em
. Pelo critério,
não é um singular regular.
Interpretação final: como
é singular (Passo 2) e falha no teste de regularidade (a ordem dos polos é maior do que o permitido), conclui-se que
é um ponto singular irregular.
Passo 6
Dicas práticas e exemplo rápido para fixar na prova:
- Procedimento rápido em prova: veja o coeficiente de
. Se for zero no ponto → singular. Depois divida por esse coeficiente e cheque se e são finitos em . - Exemplo para contraste:
- A equação
tem , . Aqui e são finitos → é singular regular (Frobenius aplica). - A equação
tem coeficiente de igual a em → ponto ordinário.
- A equação
Força aí — conclusão clara e rápida para a prova logo abaixo.