Pontos Singulares / Frobenius. Verifique se os pontos indicados são singulares:
Verifique se x=0 é ponto singular da EDO:
x^{3} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se x=0 é ponto singular da EDO
x^{3} y^{\prime\prime}-2 x y^{\prime}+5 y=0.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • Coeficientes da EDO na forma geral a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0:
    • a_2(x)=x^{3},
    • a_1(x)=-2x,
    • a_0(x)=5.
  • Pergunta: determinar se x=0 é ponto singular; e, quando pertinente, classificar se é singular regular (onde o método de Frobenius pode ser usado) ou singular irregular.

Passo 2

Critério básico (explicação didática): para uma EDO linear de segunda ordem da forma
a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0,
um ponto x_0 é
  • ponto ordinário se a_2(x_0)\neq 0;
  • ponto singular se a_2(x_0)=0.
Intuição: para escrever a EDO na forma padrão y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0 é preciso dividir por a_2(x). Se a_2(x_0)=0 não é possível obter coeficientes p,q finitos em x_0, por isso o ponto é singular.
Aplicando ao caso: a_2(0)=0^{3}=0. Logo x=0 é, de fato, um ponto singular da equação.

Passo 3

Classificação mais refinada (regular vs irregular) e condição de Frobenius (aula curta):
  • Após dividir por a_2(x) obtemos a forma padrão y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0,com p(x)=\dfrac{a_1(x)}{a_2(x)} e q(x)=\dfrac{a_0(x)}{a_2(x)}.
  • O ponto x_0 é um singular regular (ou ponto regular singular) se p(x) tem, em x_0, no máximo polo simples e q(x) tem, em x_0, no máximo polo de segunda ordem. Uma forma prática do critério:
    • (x-x_0)p(x) deve ser analítica (finita) em x_0;
    • (x-x_0)^2 q(x) deve ser analítica (finita) em x_0.
  • Se qualquer uma dessas quantidades tiver polo de ordem maior, então x_0 é singular irregular e o método de Frobenius (que exige singular regular) não se aplica diretamente.

Passo 4

Colocar a EDO na forma padrão e calcular p(x) e q(x): dividir a equação original por x^{3} (válido para x\neq0, mas serve para analisar o comportamento ao redor de 0):
y^{\prime\prime}+\frac{-2x}{x^{3}}y^{\prime}+\frac{5}{x^{3}}y=0.
Portanto
p(x)=\frac{-2x}{x^{3}}=-\frac{2}{x^{2}}, \qquad q(x)=\frac{5}{x^{3}}=5x^{-3}.

Passo 5

Aplicar o teste de regularidade (calcular (x-0)p(x) e (x-0)^{2}q(x) e ver se são analíticas em 0):
x\,p(x)=x\left(-\frac{2}{x^{2}}\right)=-\frac{2}{x},
x^{2}q(x)=x^{2}\left(5x^{-3}\right)=\frac{5}{x}.
Ambas as funções apresentam polo simples em x=0 (têm comportamento como 1/x), portanto não são analíticas (não são finitas) em x=0. Pelo critério, x=0 não é um singular regular.
Interpretação final: como x=0 é singular (Passo 2) e falha no teste de regularidade (a ordem dos polos é maior do que o permitido), conclui-se que x=0 é um ponto singular irregular.

Passo 6

Dicas práticas e exemplo rápido para fixar na prova:
  • Procedimento rápido em prova: veja o coeficiente de y^{\prime\prime}. Se for zero no ponto → singular. Depois divida por esse coeficiente e cheque se x p(x) e x^{2} q(x) são finitos em x=0.
  • Exemplo para contraste:
    • A equação \;x^{2}y^{\prime\prime}+x y^{\prime}+y=0\; tem p(x)=1/x, q(x)=1/x^{2}. Aqui x p(x)=1 e x^{2}q(x)=1 são finitos → x=0 é singular regular (Frobenius aplica).
    • A equação \;y^{\prime\prime}+\sin(x)y=0\; tem coeficiente de y^{\prime\prime} igual a 1 em x=0 → ponto ordinário.
Força aí — conclusão clara e rápida para a prova logo abaixo.

Resposta

x=0 é ponto singular irregular (não é singular regular); o método de Frobenius não é aplicável.

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