Resolva as seguintes equações diferenciais:
2 x^{2} y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}\left(2 x^{2}-1\right) y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
2 x^{2} y''+3\bigl(2 x^{2}-1\bigr)y'=0
e pede a solução geral y(x). Vou resolver passo a passo até obter a família de soluções com as constantes de integração. Observação: dividirei por x quando necessário assumindo x\neq0; pontos singulares (como x=0) podem exigir tratamento separado em problemas de valor inicial, mas aqui busco a solução geral em intervalos onde x\neq0.

Passo 2

Redução da ordem: como a equação envolve apenas y'' e y' (sem termo com y isolado), é conveniente fazer a substituição
p(x)=y'(x).
Assim p' = y'' e a equação fica (substituindo)
2 x^{2} p' + 3\bigl(2 x^{2}-1\bigr)p = 0.

Passo 3

Colocar a equação para p na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo por 2x^{2} (novamente assumindo x\neq0):
p' + \frac{3\bigl(2 x^{2}-1\bigr)}{2x^{2}}\,p = 0.
Simplificando o coeficiente:
\frac{3\bigl(2 x^{2}-1\bigr)}{2x^{2}} = 3 - \frac{3}{2x^{2}}.
Logo a equação é
p' + \Bigl(3 - \frac{3}{2x^{2}}\Bigr)p = 0.

Passo 4

Resolver a equação linear pela técnica do fator integrante. Para uma equação
p' + P(x)p = 0
o fator integrante é \mu(x)=\exp\!\bigl(\int P(x)\,dx\bigr). Aqui P(x)=3 - \dfrac{3}{2x^{2}}. Calculemos a integral de P:
\int \Bigl(3 - \frac{3}{2x^{2}}\Bigr)\,dx = \int 3\,dx - \frac{3}{2}\int x^{-2}\,dx = 3x + \frac{3}{2x}.
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(3x+\frac{3}{2x}\Bigr).

Passo 5

Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos a forma exata
\frac{d}{dx}\bigl(p\,\mu(x)\bigr)=0.
Integrando:
p(x)\,\mu(x)=C_1,
onde C_1 é constante. Assim
p(x)=y'(x)=C_1 \exp\!\Bigl(-3x-\frac{3}{2x}\Bigr).

Passo 6

Integrar p para obter y. Temos
y(x)=\int y'(x)\,dx = C_1\int \exp\!\Bigl(-3x-\frac{3}{2x}\Bigr)\,dx + C_2,
onde C_2 é uma segunda constante de integração. A primitiva \displaystyle\int \exp\!\Bigl(-3x-\frac{3}{2x}\Bigr)\,dx não tem forma elementar simples (aparece em representações por funções especiais), então, para um exame sem ferramentas especiais, a resposta em quadratura acima é aceitável.

Resposta

y(x)=C_1\int \exp\!\Bigl(-3x-\frac{3}{2x}\Bigr)\,dx + C_2

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