Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
. Vou resolver passo a passo até obter a família de soluções com as constantes de integração. Observação: dividirei por
quando necessário assumindo
; pontos singulares (como
) podem exigir tratamento separado em problemas de valor inicial, mas aqui busco a solução geral em intervalos onde
.
Passo 2
Redução da ordem: como a equação envolve apenas
e
(sem termo com
isolado), é conveniente fazer a substituição
Assim
e a equação fica (substituindo)
Passo 3
Colocar a equação para
na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo por
(novamente assumindo
):
Simplificando o coeficiente:
Logo a equação é
Passo 4
Resolver a equação linear pela técnica do fator integrante. Para uma equação
o fator integrante é
. Aqui
. Calculemos a integral de
:
Portanto o fator integrante é
Passo 5
Multiplicando a equação por
obtemos a forma exata
Integrando:
onde
é constante. Assim
Passo 6
Integrar
para obter
. Temos
onde
é uma segunda constante de integração. A primitiva
não tem forma elementar simples (aparece em representações por funções especiais), então, para um exame sem ferramentas especiais, a resposta em quadratura acima é aceitável.