( 2,5 pontos) Uma solução aquosa de ácido acético a 30 \%, com vazão de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, é submetida a um processo de extração contracorrente em múltiplas etapas com éter isopropílico puro, a uma vazão de 2500 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, para reduzir a concentração de ácido a 2 \% no rafinado final. Utilize os dados abaixo para calcular o número de etapas necessárias e as vazões e concentrações finais de extrato e rafinado.
Table 1: Dados de equilíbrio para o sistema ácido acético (A) - água (B) - éter isopropílico (C) [g/100 g]
\captionsetup{labelformat=empty}
FASE RICA EM ÁGUA FASE RICA EM ÉTER
A B C A B C
0,00 98,8 1,2 0 0,6 99,4
0,69 98,1 1,2 0,18 0,5 99,3
1,41 97,1 1,5 0,37 0,7 98,9
2,89 95,5 1,6 0,79 0,8 98,4
6,42 91,7 1,9 1,93 1 97,1
13,30 84,4 2,3 4,82 1,9 93,3
25,50 71,1 3,4 11,40 3,9 84,7
36,70 58,9 4,4 21,60 6,9 71,5
44,30 45,1 10,6 31,10 10,8 58,1
46,40 37,1 16,5 36,20 15,1 48,7

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e quais dados da tabela vou usar (peguei estes números da tabela de equilíbrio fornecida).
O enunciado nos dá:
  • Vazão de solução aquosa (fase aquosa, chamada de “rafinado” durante o processo): F=1000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição do alimento (solução aquosa): 30\% de ácido acético (em massa).
  • Vazão do solvente (éter isopropílico, fase orgânica): S=2500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição do solvente puro de alimentação: 0\% de ácido acético.
  • Objetivo pedido: reduzir a concentração de ácido no rafinado final para 2\% (ou seja, obter um rafinado com x_n=2\%).
  • A tabela fornece uma relação de equilíbrio (líneas de ligação) entre composição da fase rica em água (coluna esquerda: A em g/100g ) e a composição da fase rica em éter (coluna direita: A em g/100g ). Vou usar essa relação de equilíbrio para relacionar a fração de ácido na fase aquosa em equilíbrio com a fração de ácido na fase orgânica.
O que o problema pede explicitamente:
  • Calcular o número de etapas necessárias (número de etapas teóricas) para atingir x_n=2\% no rafinado final.
  • Calcular as vazões e concentrações finais do extrato (fase orgânica saída) e do rafinado (fase aquosa saída).
Dados extraídos da tabela de equilíbrio (usarei estes pares x_{aq}) — y_{org}) em \% em massa, equivalentes aos valores g/100 g):
  • (0{,}00,\;0{,}00)
  • (0{,}69,\;0{,}18)
  • (1{,}41,\;0{,}37)
  • (2{,}89,\;0{,}79)
  • (6{,}42,\;1{,}93)
  • (13{,}30,\;4{,}82)
  • (25{,}50,\;11{,}40)
  • (36{,}70,\;21{,}60)
  • (44{,}30,\;31{,}10)
  • (46{,}40,\;36{,}20)
Observação importante (que define a estratégia): em um extrator contracorrente em regime estacionário, valem as balanças de massa do componente ácido em todo o equipamento e, em cada etapa teórica, o par de pontos (x,\;y) (fração de ácido na fase aquosa e na fase orgânica, em massa %) deve satisfazer a curva de equilíbrio dada. Além disso, a balança global do sistema impõe uma relação entre as composições de entrada e saída.

Passo 2

Vou escrever as balanças de massa que governam o processo (explicando cada termo).
Balança global de soluto (ácido A), em regime estacionário:
F\cdot x_F + S\cdot y_0 = F\cdot x_n + S\cdot y_n.
Onde:
  • F é a vazão da fase aquosa (rafinado) em \mathrm{kg/h}.
  • x_F é a composição do alimento (fração em % massa) — aqui x_F=30.
  • S é a vazão do solvente orgânico em \mathrm{kg/h}.
  • y_0 é a composição do solvente de alimentação (no problema, y_0=0\%).
  • x_n é a composição do rafinado final (meta: 2\% se for possível).
  • y_n é a composição do extrato (fase orgânica saída do topo), em % massa.
Esta equação diz: massa de ácido que entra no equipamento (vindo no alimento + no solvente de alimentação) = massa de ácido que sai (no rafinado + no extrato). É a ferramenta principal para verificar compatibilidade entre as composições desejadas e as vazões.
Também sabemos que, no ponto de saída, o par (x_n,y_n) deve satisfazer a curva de equilíbrio da tabela: y_n = y_{\text{eq}}(x_n). Ou seja, o extrato que sai está em equilíbrio com o rafinado que sai do estágio final.
Portanto, para que seja possível obter o rafinado com x_n=2\% temos que ter simultaneamente:
y_n \;=\; y_{\text{eq}}(2\%) \quad\text{(equilíbrio, dado pela tabela)}í
e
y_n \;=\; \frac{F(x_F-x_n)}{S} \quad\text{(da balança global, pois } y_0=0\text{).}ç
Se esses dois valores de y_n coincidirem, então existe uma solução (e em princípio pode-se encontrar um número finito de etapas). Se não coincidirem, então não é possível atingir x_n=2\% com as vazões dadas (nem com número infinito de etapas), porque a balança global exige um y_n que não está em equilíbrio com x_n.

Passo 3

Calcule o valor de y_n exigido pela balança global para x_n=2\%.
Usando
y_n = \frac{F(x_F - x_n)}{S},
substituindo F=1000\\ \mathrm{kg/h}, x_F=30, x_n=2, S=2500:
y_n = \frac{1000\cdot(30 - 2)}{2500} = \frac{1000\cdot 28}{2500} = \frac{28000}{2500} = 11{,}2\.
Portanto, pela balança global seria necessário que o extrato de saída tivesse y_n = 11{,}2\% de ácido.

Passo 4

Calcule o valor de y_{\text{eq}}(2\%) (a composição do extrato que estaria em equilíbrio com um rafinado a 2\%), usando os dados da tabela (interpolação linear entre pontos da tabela).
Na tabela temos os pontos próximos:
  • para x=1{,}41\% tem y=0{,}37\%,
  • para x=2{,}89\% tem y=0{,}79\%.
Interpolando linearmente para x=2{,}00\%:
y_{\text{eq}}(2) = 0{,}37 + \frac{2{,}00-1{,}41}{2{,}89-1{,}41}\cdot(0{,}79-0{,}37).
Calcule:
\frac{2{,}00-1{,}41}{2{,}89-1{,}41}=\frac{0{,}59}{1{,}48}\approx0{,}39865,
y_{\text{eq}}(2)\approx 0{,}37 + 0{,}39865\cdot 0{,}42 \approx 0{,}37 + 0{,}1674 \approx 0{,}5374\%.
Assim, o extrato que estaria em equilíbrio com um rafinado a 2\% teria aproximadamente y_{\text{eq}}(2)\approx 0{,}537\%.

Passo 5

Compare os dois valores de y_n: o exigido pela balança global e o permitido pelo equilíbrio.
  • Balança global exige y_n = 11{,}2\%.
  • Equilíbrio (tabela) dá y_{\text{eq}}(2) \approx 0{,}537\%.
Esses dois números são muito diferentes. Conclusão física e matemática: não existe nenhum estado em que o extrato de saída tenha simultaneamente y_n=11{,}2\% (necessário para balancear a massa de ácido com as vazões dadas) e esteja em equilíbrio com um rafinado a 2\% (pois o equilíbrio correspondente daria apenas y\approx0{,}537\%). Em outras palavras, com as vazões fornecidas é impossível reduzir o rafinado até 2\%, mesmo com um número infinito de etapas.
Portanto a meta x_n=2\% não é alcançável com F=1000\\ \mathrm{kg/h} e S=2500\\ \mathrm{kg/h}. O número de etapas necessário seria infinito ou, dito de outro modo, não existe número finito de etapas que atinja 2\%.

Passo 6

Dado que x_n=2\% é inalcançável, agora calculo a melhor separação possível (limite de etapas infinitas). Para um número muito grande de etapas (extrator contracorrente ideal, n\to\infty), as composições de saída devem satisfazer simultaneamente a balança global e a curva de equilíbrio; isto é, o ponto (x_n,y_n) deve ser interseção da curva de equilíbrio com a reta da balança global:
y_{\text{eq}}(x) \;=\; \frac{F(x_F - x)}{S}.
Substituo os valores numéricos e escrevo a equação a resolver para x (em %):
y_{\text{eq}}(x) \;=\; 0{,}4\cdot(30 - x) \;=\; 12 - 0{,}4x,
porque F/S = 1000/2500 = 0{,}4.
Vou achar x^* tal que y_{\text{eq}}(x^*) = 12 - 0{,}4 x^*. Uso interpolação entre pontos da tabela para encontrar a solução numérica.
Da tabela, verifico que:
  • em x=13{,}30\%, y_{\text{eq}}=4{,}82\%. Avaliando a reta: 12-0{,}4\cdot 13{,}30 = 12 - 5{,}32 = 6{,}68. A diferença y_{\text{eq}} - (12-0{,}4x) é 4{,}82 - 6{,}68 = -1{,}86.
  • em x=25{,}50\%, y_{\text{eq}}=11{,}40\%. Avaliando a reta: 12-0{,}4\cdot 25{,}50 = 12 - 10{,}2 = 1{,}8. A diferença é 11{,}40 - 1{,}8 = 9{,}6.
Como a diferença muda de sinal entre esses dois pontos, existe uma raiz entre x=13{,}30\% e x=25{,}50\%. Faço interpolação linear para localizar x^*:
Fração:
\lambda=\frac{1{,}86}{1{,}86+9{,}6} \approx 0{,}1626.
Portanto
x^* \approx 13{,}30 + 0{,}1626\cdot(25{,}50 - 13{,}30) = 13{,}30 + 0{,}1626\cdot 12{,}2 \approx 15{,}28\%.
Agora obtenho y^* = 12 - 0{,}4 x^*:
y^* \approx 12 - 0{,}4\cdot 15{,}28 \approx 12 - 6{,}112 \approx 5{,}888\%\\ (\text{aprox. }5{,}89\%).
Verificação com interpolação direta na tabela (entre x=13{,}30 e x=25{,}50):
y_{\text{eq}}(15{,}28)\approx 4{,}82 + 0{,}1626\cdot(11{,}40-4{,}82)\approx 4{,}82 + 1{,}07\approx 5{,}89\% ,
o que confirma a consistência.

Passo 7

Interpretação final e cálculo das vazões de cada corrente no caso limite n\to\infty (melhor que se pode fazer com estas vazões):
  • Rafinado final (fase aquosa saída): vazão F=1000\\ \mathrm{kg/h} com concentração de ácido
x_{\infty} \approx 15{,}28\%.
  • Extrato final (fase orgânica saída): vazão S=2500\\ \mathrm{kg/h} com concentração de ácido
y_{\infty} \approx 5{,}89\%.
Verificação das massas de ácido:
  • Ácido no alimento: 1000\cdot 30\% = 300{,}0\\ \mathrm{kg/h}.
  • Ácido no rafinado final: 1000\cdot 15{,}28\% \approx 152{,}84\\ \mathrm{kg/h}.
  • Ácido no extrato final: 2500\cdot 5{,}89\% \approx 147{,}16\\ \mathrm{kg/h}.
    Somando saídas: 152{,}84 + 147{,}16 = 300{,}00\\ \mathrm{kg/h}, balanceia com a entrada.
Conclusão prática: com as vazões dadas, o melhor que se consegue (mesmo com número muito grande de etapas) é reduzir o rafinado de 30\% para cerca de 15{,}28\%. A meta 2\% é inatingível a menos que se aumente a vazão de solvente, reduza a vazão de alimentação, ou use um solvente com maior afinidade pelo ácido.

Resposta

Não existe número finito de etapas que leve o rafinado a 2\% usando F=1000\\ \mathrm{kg/h} e S=2500\\ \mathrm{kg/h}; a meta é inalcançável com essas vazões (seria necessário número infinito de etapas).
Melhor separação possível (limite n\to\infty): rafinado =1000\\ \mathrm{kg/h} a 15{,}28\% de ácido; extrato =2500\\ \mathrm{kg/h} a 5{,}89\% de ácido.

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