( 2,5 pontos) Uma solução aquosa de ácido acético a
, com vazão de
, é submetida a um processo de extração contracorrente em múltiplas etapas com éter isopropílico puro, a uma vazão de
, para reduzir a concentração de ácido a
no rafinado final. Utilize os dados abaixo para calcular o número de etapas necessárias e as vazões e concentrações finais de extrato e rafinado.
Table 1: Dados de equilíbrio para o sistema ácido acético (A) - água (B) - éter isopropílico (C) [g/100 g]\captionsetup{labelformat=empty}
FASE RICA EM ÁGUA
FASE RICA EM ÉTER
A
B
C
A
B
C
0,00
98,8
1,2
0
0,6
99,4
0,69
98,1
1,2
0,18
0,5
99,3
1,41
97,1
1,5
0,37
0,7
98,9
2,89
95,5
1,6
0,79
0,8
98,4
6,42
91,7
1,9
1,93
1
97,1
13,30
84,4
2,3
4,82
1,9
93,3
25,50
71,1
3,4
11,40
3,9
84,7
36,70
58,9
4,4
21,60
6,9
71,5
44,30
45,1
10,6
31,10
10,8
58,1
46,40
37,1
16,5
36,20
15,1
48,7
Table 1: Dados de equilíbrio para o sistema ácido acético (A) - água (B) - éter isopropílico (C) [g/100 g]
\captionsetup{labelformat=empty}
| FASE RICA EM ÁGUA | FASE RICA EM ÉTER | ||||
| A | B | C | A | B | C |
| 0,00 | 98,8 | 1,2 | 0 | 0,6 | 99,4 |
| 0,69 | 98,1 | 1,2 | 0,18 | 0,5 | 99,3 |
| 1,41 | 97,1 | 1,5 | 0,37 | 0,7 | 98,9 |
| 2,89 | 95,5 | 1,6 | 0,79 | 0,8 | 98,4 |
| 6,42 | 91,7 | 1,9 | 1,93 | 1 | 97,1 |
| 13,30 | 84,4 | 2,3 | 4,82 | 1,9 | 93,3 |
| 25,50 | 71,1 | 3,4 | 11,40 | 3,9 | 84,7 |
| 36,70 | 58,9 | 4,4 | 21,60 | 6,9 | 71,5 |
| 44,30 | 45,1 | 10,6 | 31,10 | 10,8 | 58,1 |
| 46,40 | 37,1 | 16,5 | 36,20 | 15,1 | 48,7 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e quais dados da tabela vou usar (peguei estes números da tabela de equilíbrio fornecida).
O enunciado nos dá:
- Vazão de solução aquosa (fase aquosa, chamada de “rafinado” durante o processo):
. - Composição do alimento (solução aquosa):
de ácido acético (em massa). - Vazão do solvente (éter isopropílico, fase orgânica):
. - Composição do solvente puro de alimentação:
de ácido acético. - Objetivo pedido: reduzir a concentração de ácido no rafinado final para
(ou seja, obter um rafinado com ). - A tabela fornece uma relação de equilíbrio (líneas de ligação) entre composição da fase rica em água (coluna esquerda:
A em g/100g ) e a composição da fase rica em éter (coluna direita: A em g/100g ). Vou usar essa relação de equilíbrio para relacionar a fração de ácido na fase aquosa em equilíbrio com a fração de ácido na fase orgânica.
O que o problema pede explicitamente:
- Calcular o número de etapas necessárias (número de etapas teóricas) para atingir
no rafinado final. - Calcular as vazões e concentrações finais do extrato (fase orgânica saída) e do rafinado (fase aquosa saída).
Dados extraídos da tabela de equilíbrio (usarei estes pares
x_{aq}) —
y_{org}) em
em massa, equivalentes aos valores g/100 g):
Observação importante (que define a estratégia): em um extrator contracorrente em regime estacionário, valem as balanças de massa do componente ácido em todo o equipamento e, em cada etapa teórica, o par de pontos
(fração de ácido na fase aquosa e na fase orgânica, em massa %) deve satisfazer a curva de equilíbrio dada. Além disso, a balança global do sistema impõe uma relação entre as composições de entrada e saída.
Passo 2
Vou escrever as balanças de massa que governam o processo (explicando cada termo).
Balança global de soluto (ácido A), em regime estacionário:
Onde:
-
é a vazão da fase aquosa (rafinado) em . -
é a composição do alimento (fração em % massa) — aqui . -
é a vazão do solvente orgânico em . -
é a composição do solvente de alimentação (no problema, ). -
é a composição do rafinado final (meta: se for possível). -
é a composição do extrato (fase orgânica saída do topo), em % massa.
Esta equação diz: massa de ácido que entra no equipamento (vindo no alimento + no solvente de alimentação) = massa de ácido que sai (no rafinado + no extrato). É a ferramenta principal para verificar compatibilidade entre as composições desejadas e as vazões.
Também sabemos que, no ponto de saída, o par
deve satisfazer a curva de equilíbrio da tabela:
. Ou seja, o extrato que sai está em equilíbrio com o rafinado que sai do estágio final.
Portanto, para que seja possível obter o rafinado com
temos que ter simultaneamente:
e
Se esses dois valores de
coincidirem, então existe uma solução (e em princípio pode-se encontrar um número finito de etapas). Se não coincidirem, então não é possível atingir
com as vazões dadas (nem com número infinito de etapas), porque a balança global exige um
que não está em equilíbrio com
.
Passo 3
Calcule o valor de
exigido pela balança global para
.
Usando
substituindo
,
,
,
:
Portanto, pela balança global seria necessário que o extrato de saída tivesse
de ácido.
Passo 4
Calcule o valor de
(a composição do extrato que estaria em equilíbrio com um rafinado a
), usando os dados da tabela (interpolação linear entre pontos da tabela).
Na tabela temos os pontos próximos:
- para
tem , - para
tem .
Interpolando linearmente para
:
Calcule:
Assim, o extrato que estaria em equilíbrio com um rafinado a
teria aproximadamente
.
Passo 5
Compare os dois valores de
: o exigido pela balança global e o permitido pelo equilíbrio.
- Balança global exige
. - Equilíbrio (tabela) dá
.
Esses dois números são muito diferentes. Conclusão física e matemática: não existe nenhum estado em que o extrato de saída tenha simultaneamente
(necessário para balancear a massa de ácido com as vazões dadas) e esteja em equilíbrio com um rafinado a
(pois o equilíbrio correspondente daria apenas
). Em outras palavras, com as vazões fornecidas é impossível reduzir o rafinado até
, mesmo com um número infinito de etapas.
Portanto a meta
não é alcançável com
e
. O número de etapas necessário seria infinito ou, dito de outro modo, não existe número finito de etapas que atinja
.
Passo 6
Dado que
é inalcançável, agora calculo a melhor separação possível (limite de etapas infinitas). Para um número muito grande de etapas (extrator contracorrente ideal,
), as composições de saída devem satisfazer simultaneamente a balança global e a curva de equilíbrio; isto é, o ponto
deve ser interseção da curva de equilíbrio com a reta da balança global:
Substituo os valores numéricos e escrevo a equação a resolver para
(em %):
porque
.
Vou achar
tal que
. Uso interpolação entre pontos da tabela para encontrar a solução numérica.
Da tabela, verifico que:
- em
, . Avaliando a reta: . A diferença é . - em
, . Avaliando a reta: . A diferença é .
Como a diferença muda de sinal entre esses dois pontos, existe uma raiz entre
e
. Faço interpolação linear para localizar
:
Fração:
Portanto
Agora obtenho
:
Verificação com interpolação direta na tabela (entre
e
):
o que confirma a consistência.
Passo 7
Interpretação final e cálculo das vazões de cada corrente no caso limite
(melhor que se pode fazer com estas vazões):
- Rafinado final (fase aquosa saída): vazão
com concentração de ácido
- Extrato final (fase orgânica saída): vazão
com concentração de ácido
Verificação das massas de ácido:
- Ácido no alimento:
- Ácido no rafinado final:
- Ácido no extrato final:
Somando saídas:, balanceia com a entrada.
Conclusão prática: com as vazões dadas, o melhor que se consegue (mesmo com número muito grande de etapas) é reduzir o rafinado de
para cerca de
. A meta
é inatingível a menos que se aumente a vazão de solvente, reduza a vazão de alimentação, ou use um solvente com maior afinidade pelo ácido.
Resposta
Não existe número finito de etapas que leve o rafinado a
usando
e
; a meta é inalcançável com essas vazões (seria necessário número infinito de etapas).
Melhor separação possível (limite ): rafinado
a
de ácido; extrato
a
de ácido.
Melhor separação possível (limite