(5 pontos) Suponha que estamos trabalhando em uma fábrica de peças mecânicas, em que a dimensão de um componente é uma variável aleatória que pode ser modelada por
f(x)= \begin{cases}\frac{3}{2} x^{2}, & \text { para }-1 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { para outros valores de } x\end{cases}
sendo x a diferença entre o valor medido da peça e o valor alvo (ideal).
a) ( \mathbf{1} ponto) Determine o valor esperado de X;
b) ( 2 pontos) Determine a variância de X;
c) ( 2 pontos) Determine a probabilidade de que o diâmetro de uma peça tenha um desvio entre -0,25 e 0,5 unidades do valor ideal, isto é, P\left[-\frac{1}{4} \leq X \leq \frac{1}{2}\right].
Passo 1
O enunciado fornece a densidade de probabilidade de uma variável aleatória X\) (desvio da peça em relação ao alvo):
\[f(x)= \begin{cases}\dfrac{3}{2} x^{2}, & \text{para } -1 \le x \le 1,\\[4pt] 0, & \text{para outros valores de } x.\end{cases}
As perguntas são:
(a) Determinar o valor esperado de X\].
- (b) Determinar a variância de \(X.
- (c) Calcular P\!\left[-\dfrac{1}{4}\le X \le \dfrac{1}{2}\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A densidade é não nula apenas no intervalo [-1,1].
A função dada é f(x)=\dfrac{3}{2}x^2 para x\in[-1,1].
Para qualquer cálculo com esperança, momentos ou probabilidades, integraremos f(x) nos intervalos apropriados.]
Passo 2
Verificação rápida (útil para confiar nos cálculos): a função f é de fato uma densidade se \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Vamos checar isso de forma direta:
Observe que a função x^{3} é ímpar: x^{3} = -(-x)^{3}. A multiplicação por uma constante não muda essa paridade, então o integrando \frac{3}{2}x^{3} é ímpar. A propriedade importante é: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Portanto
\mathbb{E}[X] = 0.
(Dica intuitiva: a densidade é simétrica em torno de zero e o peso positivo para desvios positivos e negativos se cancela.)