(5 pontos) Suponha que estamos trabalhando em uma fábrica de peças mecânicas, em que a dimensão de um componente é uma variável aleatória que pode ser modelada por
f(x)= \begin{cases}\frac{3}{2} x^{2}, & \text { para }-1 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { para outros valores de } x\end{cases}
sendo x a diferença entre o valor medido da peça e o valor alvo (ideal).
a) ( \mathbf{1} ponto) Determine o valor esperado de X;
b) ( 2 pontos) Determine a variância de X;
c) ( 2 pontos) Determine a probabilidade de que o diâmetro de uma peça tenha um desvio entre -0,25 e 0,5 unidades do valor ideal, isto é, P\left[-\frac{1}{4} \leq X \leq \frac{1}{2}\right].

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de probabilidade de uma variável aleatória X\) (desvio da peça em relação ao alvo): \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{3}{2} x^{2}, & \text{para } -1 \le x \le 1,\\[4pt] 0, & \text{para outros valores de } x.\end{cases}
As perguntas são:
  • (a) Determinar o valor esperado de X\]. - (b) Determinar a variância de \(X.
    - (c) Calcular P\!\left[-\dfrac{1}{4}\le X \le \dfrac{1}{2}\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade é não nula apenas no intervalo [-1,1].
  • A função dada é f(x)=\dfrac{3}{2}x^2 para x\in[-1,1].
  • Para qualquer cálculo com esperança, momentos ou probabilidades, integraremos f(x) nos intervalos apropriados.]

Passo 2

Verificação rápida (útil para confiar nos cálculos): a função f é de fato uma densidade se \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Vamos checar isso de forma direta:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} \frac{3}{2}x^{2}\,dx.
Como x^2 é função par (simétrica), podemos escrever
\int_{-1}^{1} \frac{3}{2}x^{2}\,dx = \frac{3}{2}\cdot 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 3\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Calcule \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}. Portanto
3\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 3\cdot \frac{1}{3} = 1.
Logo f está normalizada corretamente.

Passo 3

Definição e ideia para o valor esperado. Para uma variável contínua,
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui
\mathbb{E}[X] = \int_{-1}^{1} x\cdot \frac{3}{2}x^{2}\,dx = \frac{3}{2}\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx.
Observe que a função x^{3} é ímpar: x^{3} = -(-x)^{3}. A multiplicação por uma constante não muda essa paridade, então o integrando \frac{3}{2}x^{3} é ímpar. A propriedade importante é: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Portanto
\mathbb{E}[X] = 0.
(Dica intuitiva: a densidade é simétrica em torno de zero e o peso positivo para desvios positivos e negativos se cancela.)

Passo 4

Definição da variância. A variância é
\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\big[X^{2}\big] - \big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}.
Já temos \mathbb{E}[X]=0, então \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]. Vamos então calcular \mathbb{E}[X^{2}].

Passo 5

Cálculo de \mathbb{E}[X^{2}]:
\mathbb{E}[X^{2}] = \int_{-1}^{1} x^{2}\cdot \frac{3}{2}x^{2}\,dx = \frac{3}{2}\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx.
A função x^{4} é par, então
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{4}\,dx.
Calcule \int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \left.\dfrac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{5}. Assim
\mathbb{E}[X^{2}] = \frac{3}{2}\cdot 2\cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.
Portanto
\operatorname{Var}(X) = \frac{3}{5}.

Passo 6

Vamos agora à probabilidade pedida na parte (c). Definição:
P\!\left[-\frac{1}{4}\le X \le \frac{1}{2}\right] = \int_{-1/4}^{1/2} f(x)\,dx = \int_{-1/4}^{1/2} \frac{3}{2}x^{2}\,dx.
Integramos:
\int \frac{3}{2}x^{2}\,dx = \frac{3}{2}\cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{1}{2}x^{3}.
Então
P\!\left[-\frac{1}{4}\le X \le \frac{1}{2}\right] = \left.\frac{1}{2}x^{3}\right|_{x=-\tfrac{1}{4}}^{x=\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{2}\Big(\big(\tfrac{1}{2}\big)^{3} - \big(-\tfrac{1}{4}\big)^{3}\Big).

Passo 7

Termos numéricos finais para a probabilidade. Calcule os cubos:
\big(\tfrac{1}{2}\big)^{3} = \tfrac{1}{8},\qquad \big(-\tfrac{1}{4}\big)^{3} = -\tfrac{1}{64}.
Então
P\!\left[-\tfrac{1}{4}\le X \le \tfrac{1}{2}\right] = \frac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{8} - (-\tfrac{1}{64})\Big) = \frac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{64}\Big).
Colocando sobre o mesmo denominador:
\tfrac{1}{8} = \tfrac{8}{64}\quad\Rightarrow\quad \tfrac{8}{64}+\tfrac{1}{64}=\tfrac{9}{64}.
Portanto
P\!\left[-\tfrac{1}{4}\le X \le \tfrac{1}{2}\right] = \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{64} = \frac{9}{128}.
Se quiser uma aproximação decimal,
\frac{9}{128} \approx 0{,}0703125.

Resposta

(a) \mathbb{E}[X]=0
(b) \operatorname{Var}(X)=\dfrac{3}{5}
(c) P\!\left[-\dfrac{1}{4}\le X \le \dfrac{1}{2}\right]=\dfrac{9}{128}\approx 0{,}0703125

Exercícios relacionados