Seja X \sim N\left(\frac{5}{4}, \frac{1}{9}\right). Determine:
P\left(\left|X-\frac{4}{3}\right| \leq \frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória normal X com média e variância:
X \sim N\!\left(\frac{5}{4},\; \frac{1}{9}\right).
A pergunta é calcular a probabilidade
P\!\left(\left|X-\frac{4}{3}\right| \leq \frac{1}{2}\right).
Em palavras: qual a probabilidade de X cair no intervalo centrado em \tfrac{4}{3} com raio \tfrac{1}{2}?

Passo 2

Transformar a desigualdade em um intervalo explícito. A condição \left|X-\frac{4}{3}\right| \leq \frac{1}{2} é equivalente a
\frac{4}{3}-\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{4}{3}+\frac{1}{2}.
Calculemos as extremidades (usando frações exatas):
\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=\frac{8-3}{6}=\frac{5}{6}, \qquad \frac{4}{3}+\frac{1}{2}=\frac{8+3}{6}=\frac{11}{6}.
Logo estamos pedindo
P\!\left(\frac{5}{6}\le X \le \frac{11}{6}\right).

Passo 3

Padronizar para a normal padrão. Seja Z a normal padrão:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu=\frac{5}{4} (média de X) e \sigma=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3} (desvio padrão de X). Substituindo:
Z= \frac{X-\tfrac{5}{4}}{\tfrac{1}{3}} = 3\left(X-\tfrac{5}{4}\right).
Agora convertemos as extremidades do intervalo em valores de Z.
Para x=\tfrac{5}{6}:
z_1 = 3\left(\frac{5}{6}-\frac{5}{4}\right) =3\left(\frac{10-15}{12}\right) =3\left(-\frac{5}{12}\right) =-\frac{5}{4}=-1,25.
Para x=\tfrac{11}{6}:
z_2 = 3\left(\frac{11}{6}-\frac{5}{4}\right) =3\left(\frac{22-15}{12}\right) =3\left(\frac{7}{12}\right) =\frac{7}{4}=1,75.
Portanto
P\!\left(\frac{5}{6}\le X \le \frac{11}{6}\right) = P\!\left(-\tfrac{5}{4}\le Z \le \tfrac{7}{4}\right).

Passo 4

Usar a função distribuição da normal padrão \Phi. Temos
P\!\left(-\tfrac{5}{4}\le Z \le \tfrac{7}{4}\right) = \Phi\!\left(\tfrac{7}{4}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{5}{4}\right).
Pela simetria da normal padrão \Phi(-a)=1-\Phi(a), então
\Phi\!\left(\tfrac{7}{4}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{5}{4}\right) = \Phi\!\left(\tfrac{7}{4}\right)+\Phi\!\left(\tfrac{5}{4}\right)-1.
Agora usamos valores tabelados (ou calculadora) para \Phi:
\Phi\!\left(\tfrac{5}{4}\right)\approx 0,89435,\qquad \Phi\!\left(\tfrac{7}{4}\right)\approx 0,95994.
Substituindo:
P \approx 0,95994 + 0,89435 - 1 = 0,85429.

Passo 5

Interpretação rápida e encorajamento: a probabilidade pedida é cerca de 85{,}4\%. Nada de pânico — o procedimento padrão é sempre transformar para Z e usar a tabela/ calculadora da normal padrão. Se quiser, treina mais alguns intervalos para ficar automático na prova!

Resposta

0,85429

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