(5 pontos) Uma empresa de consultoria está analisando o desempenho de um determinado ativo financeiro em uma série histórica de curtos períodos (por exemplo, semanas). A variável aleatória X representa a variação percentual do retorno desse ativo em um determinado período, em termos decimais (ou seja, X=2 representa um aumento de 2 \% no valor do ativo). Com base nos dados observados, a função de probabilidade de X é dada por:
x_{i} -\frac{8}{3} -\frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{5}{4}
P\left[X=x_{i}\right] \bar{k} \overline{4} \bar{k} \bar{k}
Com base nessa distribuição de probabilidade:
a) ( \mathbf{1} ponto) Determine o valor de k para que de fato P\left[X=x_{i}\right] seja uma função de probabilidade;
b) ( \mathbf{1} ponto) Dado que a variação do ativo foi menor ou igual a 1 , determine a probabilidade condicional de que ela tenha sido maior que -1 ?
c) ( \mathbf{1} ponto) Determine o valor esperado de X, interpretando-o como o retorno médio esperado do ativo em um período;
d) ( \mathbf{1} ponto) Determine a função distribuição acumulada de X, ou seja, a F(x);
e) ( \mathbf{1} ponto) Faça a representação gráfica de F(x), obtida em d).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com possíveis valores e probabilidades conforme a tabela. Peguei os dados diretamente da tabela do enunciado:
  • x_1 = -\dfrac{8}{3} com P\bigl[X=x_1\bigr]=k.
  • x_2 = -\dfrac{1}{2} com P\bigl[X=x_2\bigr]=4k.
  • x_3 = \dfrac{2}{3} com P\bigl[X=x_3\bigr]=k.
  • x_4 = \dfrac{5}{4} com P\bigl[X=x_4\bigr]=k.
O enunciado pede, separadamente:
a) determinar k para que isso seja uma função de probabilidade;
b) sabendo que a variação foi menor ou igual a 1, calcular a probabilidade condicional de que ela tenha sido maior que -1;
c) calcular o valor esperado de X (retorno médio esperado);
d) escrever a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x);
e) desenhar o gráfico de F(x) (representação gráfica do item d).

Passo 2

(a) Encontrar k.
A regra básica para uma função de probabilidade discreta é que todas as probabilidades sejam não negativas e que a soma delas seja 1. Ou seja,
\sum_i P[X=x_i]=1.
Aqui temos quatro probabilidades: k,\,4k,\,k,\,k. Então
k + 4k + k + k = 1.
Somando os k's:
7k = 1.
Portanto
k = \dfrac{1}{7}.
Verificação rápida: k=\dfrac{1}{7} é positivo e as probabilidades são \dfrac{1}{7},\dfrac{4}{7},\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{7} que somam 1. Tudo OK.

Passo 3

(b) Probabilidade condicional: P\bigl(X>-1 \mid X\le 1\bigr).
Lembrete (fórmula): para dois eventos A e B com P(A)>0,
P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}.
Aqui tomamos A=\{X\le 1\} e B=\{X>-1\}. Primeiro identificar quais valores da variável satisfazem cada condição.
  • Valores possíveis de X: -\dfrac{8}{3}, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{5}{4}.
  • A=\{X\le 1\} corresponde aos valores -\dfrac{8}{3}, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}. O valor \dfrac{5}{4}=1{,}25 fica fora de A.
  • B=\{X>-1\} corresponde aos valores maiores que -1: isto é -\dfrac{1}{2} e \dfrac{2}{3}. O valor -\dfrac{8}{3} não satisfaz B.
Agora calcule P(A) e P(B\cap A).
P(A)=P\Bigl(X=-\dfrac{8}{3}\Bigr)+P\Bigl(X=-\dfrac{1}{2}\Bigr)+P\Bigl(X=\dfrac{2}{3}\Bigr) = k + 4k + k = 6k.
P(B\cap A)=P\Bigl(X=-\dfrac{1}{2}\Bigr)+P\Bigl(X=\dfrac{2}{3}\Bigr)=4k + k = 5k.
Logo
P\bigl(X>-1 \mid X\le 1\bigr)=\frac{5k}{6k}=\frac{5}{6}.
Substituindo k=\dfrac{1}{7} não muda a fração; resposta: \dfrac{5}{6}.
Interpretação: dado que o retorno foi até 1 (ou seja, não foi o caso do 5/4), há probabilidade 5/6 de que o retorno tenha sido maior que -1.

Passo 4

(c) Valor esperado \mathbb{E}[X].
Definição/ideia: para uma variável discreta X que toma valores \{x_i\} com probabilidades p_i, o valor esperado é
\mathbb{E}[X]=\sum_i x_i p_i.
É a média ponderada dos valores possíveis, ponderada pelas probabilidades — aqui interpreta-se como retorno médio esperado por período.
Aplicando aos nossos valores (usando primeiro k, depois substituindo k=\dfrac{1}{7}):
\mathbb{E}[X]=\Bigl(-\dfrac{8}{3}\Bigr)k + \Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)(4k) + \Bigl(\dfrac{2}{3}\Bigr)k + \Bigl(\dfrac{5}{4}\Bigr)k.
Agrupando em fator k:
\mathbb{E}[X]=k\left(-\dfrac{8}{3} - 4\cdot\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4}\right).
Calcule o parêntese passo a passo:
-4\cdot\dfrac{1}{2} = -2.
-\dfrac{8}{3} + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{6}{3} = -2.
Então o parêntese é -2 - 2 + \dfrac{5}{4} = -4 + \dfrac{5}{4} = -\dfrac{16}{4} + \dfrac{5}{4} = -\dfrac{11}{4}.
Portanto
\mathbb{E}[X]=k\left(-\dfrac{11}{4}\right).
Substituindo k=\dfrac{1}{7}:
\mathbb{E}[X] = -\dfrac{11}{4}\cdot \dfrac{1}{7} = -\dfrac{11}{28}.
Valor numérico aproximado:
\mathbb{E}[X]\approx -0,392857\ldots
Interpretação: o retorno médio esperado por período, segundo essa distribuição, é -\dfrac{11}{28} (aprox. -0{,}393 em unidades decimais de variação percentual), ou seja uma perda média de cerca de 39{,}3\% por período (lembrando que X está em unidades decimais de porcentagem conforme o enunciado).

Passo 5

(d) Função distribuição acumulada [F(x)=P(X\le x)).
Primeiro ordene os valores possíveis de X do menor para o maior:
-\dfrac{8}{3} < -\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{4}.
A função F(x) de uma variável discreta é uma função degrau que aumenta nas abscissas onde existem massas de probabilidade. Calcule as probabilidades acumuladas (usando k=\dfrac{1}{7} para valores numéricos):
  • Para x< -\dfrac{8}{3}: nenhuma observação é \le x, então F(x)=0.
  • Para -\dfrac{8}{3}\le x < -\dfrac{1}{2}: só está incluído -\dfrac{8}{3}, então
F(x)=P\Bigl(X=-\dfrac{8}{3}\Bigr)=k=\dfrac{1}{7}.
  • Para -\dfrac{1}{2}\le x < \dfrac{2}{3}: incluem-se os dois primeiros valores, então
F(x)=k + 4k = 5k = \dfrac{5}{7}.
  • Para \dfrac{2}{3}\le x < \dfrac{5}{4}: incluem-se os três primeiros, então
F(x)=k + 4k + k = 6k = \dfrac{6}{7}.
  • Para x\ge \dfrac{5}{4}: incluem-se todos os valores, então F(x)=1.
Resumindo em forma peça-a-peça (já substituindo k=\dfrac{1}{7}):
\displaystyle F(x)= \begin{cases} 0, & x < -\dfrac{8}{3},\\[6pt] \dfrac{1}{7}, & -\dfrac{8}{3}\le x < -\dfrac{1}{2},\\[6pt] \dfrac{5}{7}, & -\dfrac{1}{2}\le x < \dfrac{2}{3},\\[6pt] \dfrac{6}{7}, & \dfrac{2}{3}\le x < \dfrac{5}{4},\\[6pt] 1, & x\ge \dfrac{5}{4}. \end{cases}
Observação: por definição F\] é direito-contínua, então em cada ponto \(x_i o valor F(x_i) é a soma que inclui a massa em x_i (pontos marcados com ponto fechado no gráfico).]

Passo 6

(e) Representação gráfica de F(x).
Instruções para desenhar o gráfico (passo a passo para que você possa riscar no caderno rapidinho):
  1. Desenhe eixos: eixo horizontal x e eixo vertical F(x) variando de 0 a 1.
  2. Marque na horizontal os pontos x = -\dfrac{8}{3}, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{5}{4}.
  3. Faça os segmentos horizontais:
    • Para x< -\dfrac{8}{3} crie um segmento horizontal em F=0 (até pouco antes de -\dfrac{8}{3}).
    • Em x=-\dfrac{8}{3} faça um salto para F=\dfrac{1}{7}. Desenhe um ponto fechado em \bigl(-\dfrac{8}{3},\dfrac{1}{7}\bigr). À esquerda desse ponto deixe um círculo vazio em F=0 (representando limite por esquerda).
    • Para -\dfrac{8}{3}\le x < -\dfrac{1}{2} desenhe um segmento horizontal em F=\dfrac{1}{7}.
    • Em x=-\dfrac{1}{2} salte para F=\dfrac{5}{7}. Coloque ponto fechado em \bigl(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{7}\bigr) e, imediatamente à esquerda, um círculo vazio no nível \dfrac{1}{7}.
    • Para -\dfrac{1}{2}\le x < \dfrac{2}{3} mantenha o nível F=\dfrac{5}{7}.
    • Em x=\dfrac{2}{3} salte para F=\dfrac{6}{7}. Ponto fechado em \bigl(\dfrac{2}{3},\dfrac{6}{7}\bigr) e círculo vazio no \dfrac{5}{7} à esquerda.
    • Para \dfrac{2}{3}\le x < \dfrac{5}{4} mantenha F=\dfrac{6}{7}.
    • Em x=\dfrac{5}{4} salte para F=1. Ponto fechado em \bigl(\dfrac{5}{4},1\bigr) e círculo vazio correspondente em \dfrac{6}{7} à esquerda.
    • Para x>\dfrac{5}{4} mantenha F=1.
  4. Rotule os níveis verticais com os valores numéricos 0,\dfrac{1}{7},\dfrac{5}{7},\dfrac{6}{7},1.
Resultado visual: é um gráfico de degrau (função escada) com saltos nas abscissas indicadas e alturas dos saltos iguais às probabilidades individuais ( k,4k,k,k respectivamente).

Resposta

a) [k=\dfrac{1}{7})
b) \dfrac{5}{6}
c) \mathbb{E}[X]= -\dfrac{11}{28}\approx -0,392857
d) \displaystyle F(x)= \begin{cases} 0, & x < -\dfrac{8}{3},\\[6pt] \dfrac{1}{7}, & -\dfrac{8}{3}\le x < -\dfrac{1}{2},\\[6pt] \dfrac{5}{7}, & -\dfrac{1}{2}\le x < \dfrac{2}{3},\\[6pt] \dfrac{6}{7}, & \dfrac{2}{3}\le x < \dfrac{5}{4},\\[6pt] 1, & x\ge \dfrac{5}{4}. \end{cases}
e) Gráfico: função degrau (escada) com saltos em x=-\dfrac{8}{3},-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{4}\] e alturas sucessivas \(0\to \dfrac{1}{7}\to \dfrac{5}{7}\to \dfrac{6}{7}\to 1 (cada salto representado por ponto fechado no topo do degrau e círculo aberto imediatamente à esquerda).]

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