1- (5,0 pontos) - Suponha que uma força F=2 x^3 e^-2 t x age sobre um corpo de massa m=5 kg, tirando-o do repouso e deslocando-o em x metros após 5 s. Considere que o movimento é retilíneo e que F é a única força atuando no corpo. (a) Calcule o trabalho realizado por F nos instantes 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, e 5s do movimento. (b) Qual a energia cinética do corpo quando o movimento atinge metade de sua duração? (c) Encontre uma expressão para a potência instantânea associada ao movimento.

Passo 1

O enunciado dá uma força variável
vec F(x,t)=2,x^3e^-2t,hat x
agindo sobre uma massa m=5,kg que parte do repouso em t=0 e se desloca numa linha reta até um ponto x(t) após 5 s. Pede-se:
(a) o trabalho realizado por vec F nos instantes t=1,2,3,4,5 s;
(b) a energia cinética em t=2,5 s;
(c) a potência instantânea P(t).
Para calcular trabalho, energia cinética ou potência, precisaríamos conhecer explicitamente a trajetória x(t) e a velocidade v(t)=dot x(t).

Passo 2

A equação de Newton é
m,ddot x(t)=2,l(x(t)r)^3e^-2t,
isto é,
5,ddot x(t)=2,x^3(t),e^-2t
Isso é uma EDO de segunda ordem não-linear em x(t).

Passo 3

Sem uma solução fechada para x(t) não é possível obter v(t) nem x(t) em função de t.

Passo 4

O trabalho até o instante t seria
W(t)=integral0^x(t)F(x',t),dx' =integral0^x(t)2,x'^3e^-2t,dx' =tfrac12,x^4(t),e^-2t,
mas esse resultado ainda depende de x(t), desconhecida.

Passo 5

A energia cinética obedece a
K(t)=tfrac12,m,[v(t)]^2
e a potência instantânea é
P(t)=Fl(x(t),tr),v(t),
porém ambas exigem x(t) e v(t).

Resposta

Não há como avançar para (a), (b) e (c) sem primeiro resolver a EDO
5,ddot x(t)=2,x^3(t),e^-2t,
para obter x(t) e v(t). Como essa EDO não admite solução elementar conhecida, o enunciado, do modo como está, não permite calcular os valores pedidos.

Exercícios relacionados