1. (3,0 pontos) Em t=0, uma partícula livre é descrita pela função de onda
\psi(x, 0)=\left\{\begin{array}{ll} A\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right), & |x|<a, \\\\ 0, & |x| \geq a, \end{array}\right.
onde A e a são constantes positivas.
(b) Calcule o valor médio da energia.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda inicial em t=0\): \[\psi(x,0)=\begin{cases} A\!\left(1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\right), & |x|<a,\\[6pt] 0, & |x|\ge a, \end{cases}
com A>0\] e \(a>0. A pergunta que precisamos responder é: calcular o valor médio da energia (isto é, \langle E\rangle) dessa partícula livre no instante t=0.
Informações relevantes que usaremos (todas extraídas do enunciado):
  • A função de onda é real e tem suporte compacto em [-a,a] (ou seja, é zero fora desse intervalo).
  • A energia de uma partícula livre é puramente cinética e o operador Hamiltoniano é
\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}.
  • Precisaremos da constante de normalização A, que deve satisfazer \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,0)|^{2}dx=1.]

Passo 2

Plano de resolução e justificativa das fórmulas que usarei (aulas rápidas no caminho):
  1. O valor médio da energia é o valor esperado do operador \hat{H}:
\langle E\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}(x,0)\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right)\psi(x,0)\,dx.
Aqui \psi^{*} é o conjugado complexo de \psi; como \psi é real, \psi^{*}=\psi.
  1. Para simplificar a integral, uso integração por partes. Para uma função suficientemente bem comportada que se anula nas fronteiras (aqui as fronteiras efetivas são x=\pm a onde \psi=0), vale a identidade
\int_{-a}^{a}\psi(x)\left(-\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)\right)\,dx=\int_{-a}^{a}\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^{2}dx,
pois os termos de contorno \big[-\psi\,\psi'\big]_{-a}^{a} desaparecem (em x=\pm a tem-se \psi=0, então o produto é zero). Assim podemos reescrever a energia média como
\langle E\rangle=\frac{\hbar^{2}}{2m}\int_{-a}^{a}\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^{2}dx.
Essa forma é muito conveniente porque transforma a segunda derivada numa integral do quadrado da derivada primeira (mais fácil de calcular aqui).

Passo 3

Normalização da função de onda (calcular A).
A condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,0)|^{2}dx=1.
Como \psi é zero fora de [-a,a], isso vira
\int_{-a}^{a} A^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{2}dx=1.
A função é par, então faço a integral no semieixo e dobro:
2A^{2}\int_{0}^{a}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{2}dx=1.
Expando o quadrado:
\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{2}=1-\frac{2x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{4}}{a^{4}}.
Agora integro termo a termo (usando \int_{0}^{a}x^{n}dx=\dfrac{a^{n+1}}{n+1}):
\int_{0}^{a}\left(1-\frac{2x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{4}}{a^{4}}\right)dx = a - \frac{2}{a^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{3} + \frac{1}{a^{4}}\cdot\frac{a^{5}}{5} = a\!\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right).
Calculo o coeficiente dentro do parêntese:
1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15-10+3}{15}=\frac{8}{15}.
Então
\int_{0}^{a}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{2}dx=\frac{8a}{15}.
Voltando à normalização:
2A^{2}\cdot\frac{8a}{15}=1 \quad\Rightarrow\quad A^{2}=\frac{15}{16a}.
Como A>0,
A=\sqrt{\frac{15}{16a}}.

Passo 4

Calcular a derivada \dfrac{d\psi}{dx} e a integral de \left(\dfrac{d\psi}{dx}\right)^{2}.
Para |x|<a temos
\psi(x,0)=A\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right),
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\frac{d\psi}{dx}=-A\cdot\frac{2x}{a^{2}}=-\frac{2A}{a^{2}}\,x.
Para |x|\ge a a derivada é zero porque \psi=0 lá (podemos ignorar as contribuições pontuais de descontinuidade de derivada, pois não afetam a integral).
Então
\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^{2}=\frac{4A^{2}}{a^{4}}\,x^{2}.
Agora integro no intervalo [-a,a]:
\int_{-a}^{a}\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^{2}dx =\frac{4A^{2}}{a^{4}}\int_{-a}^{a}x^{2}dx.
Calculo a integral de x^{2}:
\int_{-a}^{a}x^{2}dx=2\int_{0}^{a}x^{2}dx=2\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{2a^{3}}{3}.
Substituindo:
\int_{-a}^{a}\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^{2}dx =\frac{4A^{2}}{a^{4}}\cdot\frac{2a^{3}}{3}=\frac{8A^{2}}{3a}.
Agora substituo A^{2}=\dfrac{15}{16a}:
\int_{-a}^{a}\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^{2}dx =\frac{8}{3a}\cdot\frac{15}{16a}=\frac{120}{48a^{2}}=\frac{5}{2a^{2}}.

Passo 5

Calcular o valor médio da energia usando a expressão obtida no Passo 2.
Lembrando que
\langle E\rangle=\frac{\hbar^{2}}{2m}\int_{-a}^{a}\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^{2}dx,
substituo a integral calculada no Passo 4:
\langle E\rangle=\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\frac{5}{2a^{2}}=\frac{5\hbar^{2}}{4 m a^{2}}.

Resposta

\langle E\rangle=\dfrac{5\hbar^{2}}{4 m a^{2}}

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