O enunciado dá a função de onda inicial em t=0\):
\[\psi(x,0)=\begin{cases} A\!\left(1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\right), & |x|<a,\\[6pt] 0, & |x|\ge a, \end{cases}
com A>0\] e \(a>0. A pergunta que precisamos responder é: calcular o valor médio da energia (isto é, \langle E\rangle) dessa partícula livre no instante t=0.
Informações relevantes que usaremos (todas extraídas do enunciado):
A função de onda é real e tem suporte compacto em [-a,a] (ou seja, é zero fora desse intervalo).
A energia de uma partícula livre é puramente cinética e o operador Hamiltoniano é
Aqui \psi^{*} é o conjugado complexo de \psi; como \psi é real, \psi^{*}=\psi.
Para simplificar a integral, uso integração por partes. Para uma função suficientemente bem comportada que se anula nas fronteiras (aqui as fronteiras efetivas são x=\pm a onde \psi=0), vale a identidade
pois os termos de contorno \big[-\psi\,\psi'\big]_{-a}^{a} desaparecem (em x=\pm a tem-se \psi=0, então o produto é zero). Assim podemos reescrever a energia média como
Para |x|\ge a a derivada é zero porque \psi=0 lá (podemos ignorar as contribuições pontuais de descontinuidade de derivada, pois não afetam a integral).