(2 ptos) Um alto-falante emitindo um som com uma frequência de 600 Hz move-se afastando de você em direção a uma parede com velocidade de 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um vento de 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sopra no sentido contrário ao deslocamento da fonte sonora. Considere a velocidade do som no ar igual a 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual a frequência do som que você escuta vindo diretamente do alto-falante? (b) Qual a frequência que você escuta do som refletido pela parede? (c) Qual a frequência de batimentos entre os dois sons? (d) A frequência de batimentos é perceptível?
Passo 1
O enunciado dá estes dados (vou colocar tudo nitidamente para não nos confundirmos):
Frequência emitida pelo alto-falante: f=600\\ \mathrm{Hz}.
Velocidade do alto-falante em relação ao solo: v_{s,\text{solo}}=15{,}0\\ \mathrm{m/s}, movendo-se afastando de você em direção à parede.
Vento de w=10{,}0\\ \mathrm{m/s} soprando no sentido contrário ao deslocamento da fonte (ou seja, soprando da parede para você).
Velocidade do som no ar: c=343\\ \mathrm{m/s}.
O que a questão pede:
(a) a frequência do som que você escuta vindo diretamente do alto‑falante;
(b) a frequência do som que você escuta do som refletido pela parede;
(c) a frequência de batimentos entre os dois sons;
(d) se essa frequência de batimentos é perceptível ao ouvido humano.
Observação importante que vou usar: o vento faz com que o ar (o meio) se mova em relação ao solo, então é mais claro trabalhar no referencial do ar (onde a velocidade de propagação do som é c). Vou definir uma convenção de sinais agora para evitar confusão:
Eixo positivo para a direita: da sua posição em direção à parede.
Assim, o alto‑falante tem velocidade para a direita; o vento sopra para a esquerda, logo a velocidade do ar em relação ao solo é v_{\text{ar,solo}}=-10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Passo 2
Explicação didática do método (Doppler com meio em movimento, passo a passo):
Vou trabalhar no referencial do ar (o meio). Nesse referencial a velocidade do som é c=343\\ \mathrm{m/s} (constante).
Para passar do referencial do solo ao do ar, subtrai‑se a velocidade do ar: a velocidade de qualquer objeto em relação ao ar é v_{\text{obj,ar}}=v_{\text{obj,solo}}-v_{\text{ar,solo}}.
Calculemos as velocidades relativas ao ar (lembrando v_{\text{ar,solo}}=-10{,}0\\ \mathrm{m/s}):
velocidade da fonte relativa ao ar:v_{s} = v_{s,\text{solo}} - v_{\text{ar,solo}} = 15{,}0 - (-10{,}0) = 25{,}0\\ \mathrm{m/s}(para a direita).
velocidade do observador (você) relativa ao ar:v_{o} = 0 - (-10{,}0) = 10{,}0\\ \mathrm{m/s}(também para a direita, porque o ar passa por você).
velocidade da parede relativa ao ar:v_{\text{pared}} = 0 - (-10{,}0) = 10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Em palavras: na moldura do ar, tanto você quanto a parede “se movem” para a direita a 10{,}0\\ \mathrm{m/s}, e a fonte se move mais rápido para a direita a 25{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Fórmulas básicas (razão física, explicada):
Para uma fonte movendo‑se para a direita e ondas observadas à esquerda (propagação para a esquerda), a distância entre frentes de onda (comprimento de onda) para a esquerda é\lambda_{\text{esq}}=\frac{c+v_s}{f},porque, durante um período de emissão T=1/f, a fonte se desloca no sentido oposto ao da onda, aumentando a separação entre frentes (expliquei isso com desenho mental: em T a frente avançaria cT e a fonte se desloca v_sT, somando).
Se um receptor se move em relação ao ar com velocidade v_o (positiva se se move para a direita), a velocidade relativa da onda em relação ao receptor, quando a onda vai para a esquerda, é c+v_o (o receptor movendo‑se para a direita vai ao encontro da onda). Assim a frequência observada éf_{\text{obs}}=\frac{c+v_o}{\lambda}.
Para ondas indo à direita (em direção à parede), o comprimento de onda gerado pela fonte é\lambda_{\text{dir}}=\frac{c-v_s}{f},pois agora, durante T, a fonte se aproxima das frentes que vão para a direita, diminuindo a separação.
Com essas fórmulas base resolvemos (a) e (b) passo a passo.
Passo 3
Cálculo da parte (a): frequência do som que você escuta vindo diretamente do alto‑falante.
Para ondas emitidas para a esquerda (do alto‑falante para você) o comprimento de onda no ar é
A velocidade da onda em relação à parede (a parede “move” para a direita no referencial do ar com v_{\text{pared}}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}) é c-v_{\text{pared}}=343-10=333\\ \mathrm{m/s} (a onda corre na direção da parede, mas a parede vai na mesma direção, diminuindo a velocidade relativa com a qual as frentes atingem a parede).
A frequência com que as frentes chegam à parede (frequência incidente medida na parede) é
A parede, sendo rígida, reflete mantendo a frequência que ela “recebe” no seu referencial (ou seja, em sua moldura). Podemos então tratar a parede como uma fonte que emite para a esquerda com frequência f_{\text{na parede}}.
Essa “fonte” (a parede) move‑se para a direita no referencial do ar com v_{\text{pared}}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}. Para emissão à esquerda por uma fonte que se move para a direita, o comprimento de onda gerado para a esquerda é\lambda_{\text{ref,left}}=\frac{c+v_{\text{pared}}}{f_{\text{na parede}}}.
A velocidade da onda relativa a você é novamente c+v_o=353\\ \mathrm{m/s} (onda indo à esquerda, você se move para a direita).
Assim a frequência refletida que você ouve éf_{\text{ref}}=\frac{c+v_o}{\lambda_{\text{ref,left}}} =f_{\text{na parede}}\cdot\frac{c+v_o}{c+v_{\text{pared}}}.
Como v_o=v_{\text{pared}}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}, o fator \dfrac{c+v_o}{c+v_{\text{pared}}} é 1. Portantof_{\text{ref}}=f_{\text{na parede}}\approx 628{,}3\\ \mathrm{Hz}.
Observação: algebraicamente pode ser mostrado que a frequência refletida pode ser obtida em uma só expressão
Resposta da parte (d): a perceptibilidade dos batimentos.
Informação prática: batimentos são claramente percebidos quando sua frequência está na faixa baixa, tipicamente até cerca de ~20\\ \mathrm{Hz}. Para frequências de batimento bem maiores (por exemplo >30\\ \mathrm{Hz}) o ouvido humano deixa de perceber o “pulsar” de amplitude típico de batimentos e passa a perceber uma sensação de timbre ou duas notas separadas (ou um som áspero), não batimentos lentos e ritmados.
Como aqui f_{\text{bat}}\approx 52{,}7\\ \mathrm{Hz}, esse valor é alto demais para ser percebido como batimentos regulares. Logo, não será percebido como batimentos claros; será mais percebido como duas frequências próximas/uma sonoridade “áspera”.
Força aí — já tem os números e a explicação para decorar e reproduzir na prova!
Resposta
(a) 575{,}6\\ \mathrm{Hz}
(b) 628{,}3\\ \mathrm{Hz}
(c) 52{,}7\\ \mathrm{Hz}
(d) Não — 52{,}7\\ \mathrm{Hz} é muito alto para ser percebido como batimentos regulares; o ouvido percebe antes timbre/duas notas próximas.