1. (2 ptos) Um alto-falante emitindo um som com uma frequência de 600 Hz move-se afastando de você em direção a uma parede com velocidade de 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um vento de 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sopra no sentido contrário ao deslocamento da fonte sonora. Considere a velocidade do som no ar igual a 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual a frequência do som que você escuta vindo diretamente do alto-falante? (b) Qual a frequência que você escuta do som refletido pela parede? (c) Qual a frequência de batimentos entre os dois sons? (d) A frequência de batimentos é perceptível?

Passo 1

O enunciado dá estes dados (vou colocar tudo nitidamente para não nos confundirmos):
  • Frequência emitida pelo alto-falante: f=600\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do alto-falante em relação ao solo: v_{s,\text{solo}}=15{,}0\\ \mathrm{m/s}, movendo-se afastando de você em direção à parede.
  • Vento de w=10{,}0\\ \mathrm{m/s} soprando no sentido contrário ao deslocamento da fonte (ou seja, soprando da parede para você).
  • Velocidade do som no ar: c=343\\ \mathrm{m/s}.
O que a questão pede:
(a) a frequência do som que você escuta vindo diretamente do alto‑falante;
(b) a frequência do som que você escuta do som refletido pela parede;
(c) a frequência de batimentos entre os dois sons;
(d) se essa frequência de batimentos é perceptível ao ouvido humano.
Observação importante que vou usar: o vento faz com que o ar (o meio) se mova em relação ao solo, então é mais claro trabalhar no referencial do ar (onde a velocidade de propagação do som é c). Vou definir uma convenção de sinais agora para evitar confusão:
  • Eixo positivo para a direita: da sua posição em direção à parede.
  • Assim, o alto‑falante tem velocidade para a direita; o vento sopra para a esquerda, logo a velocidade do ar em relação ao solo é v_{\text{ar,solo}}=-10{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Explicação didática do método (Doppler com meio em movimento, passo a passo):
  • Vou trabalhar no referencial do ar (o meio). Nesse referencial a velocidade do som é c=343\\ \mathrm{m/s} (constante).
  • Para passar do referencial do solo ao do ar, subtrai‑se a velocidade do ar: a velocidade de qualquer objeto em relação ao ar é v_{\text{obj,ar}}=v_{\text{obj,solo}}-v_{\text{ar,solo}}.
  • Calculemos as velocidades relativas ao ar (lembrando v_{\text{ar,solo}}=-10{,}0\\ \mathrm{m/s}):
    • velocidade da fonte relativa ao ar: v_{s} = v_{s,\text{solo}} - v_{\text{ar,solo}} = 15{,}0 - (-10{,}0) = 25{,}0\\ \mathrm{m/s}(para a direita).
    • velocidade do observador (você) relativa ao ar: v_{o} = 0 - (-10{,}0) = 10{,}0\\ \mathrm{m/s}(também para a direita, porque o ar passa por você).
    • velocidade da parede relativa ao ar: v_{\text{pared}} = 0 - (-10{,}0) = 10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Em palavras: na moldura do ar, tanto você quanto a parede “se movem” para a direita a 10{,}0\\ \mathrm{m/s}, e a fonte se move mais rápido para a direita a 25{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Fórmulas básicas (razão física, explicada):
  • Para uma fonte movendo‑se para a direita e ondas observadas à esquerda (propagação para a esquerda), a distância entre frentes de onda (comprimento de onda) para a esquerda é \lambda_{\text{esq}}=\frac{c+v_s}{f},porque, durante um período de emissão T=1/f, a fonte se desloca no sentido oposto ao da onda, aumentando a separação entre frentes (expliquei isso com desenho mental: em T a frente avançaria cT e a fonte se desloca v_sT, somando).
  • Se um receptor se move em relação ao ar com velocidade v_o (positiva se se move para a direita), a velocidade relativa da onda em relação ao receptor, quando a onda vai para a esquerda, é c+v_o (o receptor movendo‑se para a direita vai ao encontro da onda). Assim a frequência observada é f_{\text{obs}}=\frac{c+v_o}{\lambda}.
  • Para ondas indo à direita (em direção à parede), o comprimento de onda gerado pela fonte é \lambda_{\text{dir}}=\frac{c-v_s}{f},pois agora, durante T, a fonte se aproxima das frentes que vão para a direita, diminuindo a separação.
Com essas fórmulas base resolvemos (a) e (b) passo a passo.

Passo 3

Cálculo da parte (a): frequência do som que você escuta vindo diretamente do alto‑falante.
  1. Para ondas emitidas para a esquerda (do alto‑falante para você) o comprimento de onda no ar é
\lambda_{\text{esq}}=\frac{c+v_s}{f}=\frac{343+25}{600}=\frac{368}{600}=0{,}613\overline{3}\\ \mathrm{m}.
  1. A velocidade da onda relativa a você (que, no referencial do ar, tem velocidade v_o=10{,}0\\ \mathrm{m/s} para a direita) é
v_{\text{rel}}=c+v_o=343+10=353\\ \mathrm{m/s}.
  1. Portanto a frequência que você ouve diretamente é
f_{\text{direto}}=\frac{v_{\text{rel}}}{\lambda_{\text{esq}}}=\frac{353}{368/600}=600\cdot\frac{353}{368}.
Fazendo a conta:
f_{\text{direto}}=600\cdot\frac{353}{368}\approx 575{,}6\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação rápida: ficou menor que 600\\ \mathrm{Hz} porque a fonte está se afastando de você.

Passo 4

Cálculo da parte (b): frequência do som refletido pela parede (o processo é em dois passos: emissão em direção à parede e reflexão pela parede).
Primeiro passo (fonte → parede):
  1. Para as ondas que vão à direita (em direção à parede) o comprimento de onda é
\lambda_{\text{dir}}=\frac{c-v_s}{f}=\frac{343-25}{600}=\frac{318}{600}=0{,}53\\ \mathrm{m}.
  1. A velocidade da onda em relação à parede (a parede “move” para a direita no referencial do ar com v_{\text{pared}}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}) é c-v_{\text{pared}}=343-10=333\\ \mathrm{m/s} (a onda corre na direção da parede, mas a parede vai na mesma direção, diminuindo a velocidade relativa com a qual as frentes atingem a parede).
  2. A frequência com que as frentes chegam à parede (frequência incidente medida na parede) é
f_{\text{na parede}}=\frac{333}{\lambda_{\text{dir}}}=\frac{333}{318/600}=600\cdot\frac{333}{318}\approx 628{,}3\\ \mathrm{Hz}.
Segundo passo (reflexão: parede → você):
  • A parede, sendo rígida, reflete mantendo a frequência que ela “recebe” no seu referencial (ou seja, em sua moldura). Podemos então tratar a parede como uma fonte que emite para a esquerda com frequência f_{\text{na parede}}.
  • Essa “fonte” (a parede) move‑se para a direita no referencial do ar com v_{\text{pared}}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}. Para emissão à esquerda por uma fonte que se move para a direita, o comprimento de onda gerado para a esquerda é \lambda_{\text{ref,left}}=\frac{c+v_{\text{pared}}}{f_{\text{na parede}}}.
  • A velocidade da onda relativa a você é novamente c+v_o=353\\ \mathrm{m/s} (onda indo à esquerda, você se move para a direita).
  • Assim a frequência refletida que você ouve é f_{\text{ref}}=\frac{c+v_o}{\lambda_{\text{ref,left}}} =f_{\text{na parede}}\cdot\frac{c+v_o}{c+v_{\text{pared}}}.
  • Como v_o=v_{\text{pared}}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}, o fator \dfrac{c+v_o}{c+v_{\text{pared}}} é 1. Portanto f_{\text{ref}}=f_{\text{na parede}}\approx 628{,}3\\ \mathrm{Hz}.
Observação: algebraicamente pode ser mostrado que a frequência refletida pode ser obtida em uma só expressão
f_{\text{ref}}=f\cdot\frac{c-v_{\text{pared}}}{c-v_s}\cdot\frac{c+v_o}{c+v_{\text{pared}}},
e aqui a última fração vale 1 porque v_o=v_{\text{pared}}.

Passo 5

Cálculo da parte (c): frequência de batimentos entre os dois sons.
Batimentos têm frequência igual à diferença absoluta entre as duas frequências:
f_{\text{bat}}=\big|f_{\text{ref}}-f_{\text{direto}}\big| =|628{,}3-575{,}6|\\ \mathrm{Hz}\approx 52{,}7\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Resposta da parte (d): a perceptibilidade dos batimentos.
  • Informação prática: batimentos são claramente percebidos quando sua frequência está na faixa baixa, tipicamente até cerca de ~20\\ \mathrm{Hz}. Para frequências de batimento bem maiores (por exemplo >30\\ \mathrm{Hz}) o ouvido humano deixa de perceber o “pulsar” de amplitude típico de batimentos e passa a perceber uma sensação de timbre ou duas notas separadas (ou um som áspero), não batimentos lentos e ritmados.
  • Como aqui f_{\text{bat}}\approx 52{,}7\\ \mathrm{Hz}, esse valor é alto demais para ser percebido como batimentos regulares. Logo, não será percebido como batimentos claros; será mais percebido como duas frequências próximas/uma sonoridade “áspera”.
Força aí — já tem os números e a explicação para decorar e reproduzir na prova!

Resposta

(a) 575{,}6\\ \mathrm{Hz}
(b) 628{,}3\\ \mathrm{Hz}
(c) 52{,}7\\ \mathrm{Hz}
(d) Não — 52{,}7\\ \mathrm{Hz} é muito alto para ser percebido como batimentos regulares; o ouvido percebe antes timbre/duas notas próximas.

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