- (2,0 pontos) Das afirmações abaixo, apenas uma é falsa. Identifique-a e justifique sua resposta.
(v) Segundo a hipótese de De Broglie, partículas materiais possuem propriedades ondulatórias associadas ao seu movimento.
(f ) O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.
(v ) A interpretação probabilística de Born afirma que o módulo ao quadrado da função de onda está relacionado à probabilidade de localizar uma partícula em uma determinada regiāo do espaço.
(v) Segundo a hipótese de De Broglie, partículas materiais possuem propriedades ondulatórias associadas ao seu movimento.
(f ) O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.
(v ) A interpretação probabilística de Born afirma que o módulo ao quadrado da função de onda está relacionado à probabilidade de localizar uma partícula em uma determinada regiāo do espaço.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (as três afirmações que aparecem no enunciado):
- (v) Segundo a hipótese de De Broglie, partículas materiais possuem propriedades ondulatórias associadas ao seu movimento.
- (f ) O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.
- (v ) A interpretação probabilística de Born afirma que o módulo ao quadrado da função de onda está relacionado à probabilidade de localizar uma partícula em uma determinada região do espaço.
O que o exercício pede: identificar qual das três afirmações é falsa e justificar por que ela é falsa.
Passo 2
Explicando a afirmação (v) sobre De Broglie e por que ela é verdadeira.
- O que diz De Broglie: a cada partícula com momento linear
associa-se uma onda com comprimento de onda
onde
é a constante de Planck. Aqui
é o momento da partícula (para não-relativístico
).
- Significado físico: isso não diz que a partícula é literalmente uma onda clássica, mas que o comportamento da partícula pode apresentar fenômenos de interferência e difração típicos de ondas. Experimentos (difração de elétrons, por exemplo) confirmam essa hipótese.
- Conclusão: a afirmação (v) é correta: De Broglie propõe propriedades ondulatórias para partículas materiais.
Passo 3
Explicando a afirmação (v) sobre Born e por que ela é verdadeira.
- Enunciado de Born (forma usual): a função de onda
é um amplitude de probabilidade e o seu módulo ao quadrado dá a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em no tempo :
- Normalização: para uma partícula localizada no espaço inteiro, exige-se
isto é, a probabilidade total de encontrar a partícula em algum ponto do espaço é
.
- Interpretação física: essa é a interpretação padrão da mecânica quântica que reconciliou o caráter ondulatório da função de onda com a observação de partículas localizadas em medidas.
- Conclusão: a afirmação sobre Born está correta.
Passo 4
O que é um pacote de ondas e por que ele pode alargar (introdução física passo a passo).
- Definição simples: um pacote de ondas é uma combinação (superposição) de ondas planas com diferentes números de onda
. Em 1D, uma representação genérica é
onde
é o espectro (quanto cada
contribui) e
é a relação de dispersão.
- Relação de dispersão para partícula livre não-relativística:
onde
e
é a massa da partícula.
- Grupo e fase:
- velocidade de fase:
, - velocidade de grupo:
.
- velocidade de fase:
- Dispersão e alargamento: se
não é linear em (caso aqui, é quadrática), diferentes componentes propagam com diferentes velocidades de fase, e isso faz com que o pacote mude de forma e tipicamente se alargue com o tempo — fenômeno chamado dispersão.
Passo 5
Exemplo concreto e fórmula do alargamento (mostra por que o pacote alarga para uma partícula livre).
- Considere um pacote gaussiano inicial com largura espacial (desvio padrão)
. O cálculo (padrão em mecânica quântica) dá para a largura temporal a expressão
- Interpretação das variáveis:
-
é a largura inicial do pacote em posição (quanto a partícula está localizada inicialmente), -
é a massa da partícula, -
é o tempo.
-
- Observação: para
a largura cresce aproximadamente linearmente com ; isto é, o pacote efetivamente se espalha no tempo, mesmo sem nenhuma força externa (partícula livre).
Passo 6
Por que a afirmação (f) é falsa — discussão física e conceptual, passo a passo.
- O que a afirmação (f) diz: “O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.” Ou seja, ela afirma que, porque o pacote se alarga, isso seria evidência de que
é uma onda material (algo como uma densidade de matéria que se espalha). - Por que isso é enganoso/errado:
- Se
fosse uma onda material clássica que representa literalmente a distribuição de matéria (uma densidade de massa espalhada), o alargamento implicaria que a própria partícula física se “espalha” e sua massa se dilui no espaço. Na prática experimental, partículas individuais (elétrons, átomos isolados) não são observadas como “massas que se diluem” depois de preparadas — o que se observa é que a probabilidade de detectar a partícula em posições diferentes muda com o tempo. - O alargamento ocorre mesmo para uma partícula livre, e sua explicação natural é probabilística: o pacote é a amplitude de probabilidade e o alargamento indica aumento da incerteza na posição com o tempo (difusão da probabilidade), não expansão física do objeto. Isso concorda com a interpretação de Born.
- Além disso, uma onda material clássica em um meio não-dispersivo manteria a forma do pacote (sem alargar). O alargamento por si só não “reforça” uma interpretação material clássica — na verdade, a necessidade de apelar para a interpretação probabilística é precisamente para evitar a conclusão absurda de que partículas macroscópicas se espalhariam fisicamente como uma nuvem.
- Historicamente, a descoberta do alargamento do pacote foi um dos motivos pelos quais a função de onda deixou de ser vista como representação direta da matéria e passou a ser vista como amplitude de probabilidade: era preciso reconciliar comportamento ondulatório com detecções pontuais de partículas.
- Se
- Conclusão lógica: o alargamento do pacote de ondas não reforça a ideia de que a função de onda seja uma onda material clássica; ao contrário, é mais consistente com a interpretação probabilística (Born) e com a ideia de que
dá probabilidades, não uma densidade de massa literal. Portanto a afirmação (f) é falsa.
Passo 7
Resumo final da justificativa curta e direta (para lembrar na prova):
- De Broglie: correto — partículas têm comprimento de onda
. - Born: correto —
é densidade de probabilidade. - Pacote alarga: isso mostra dispersão de amplitudes de probabilidade; interpretar isso como “onda material clássica” leva a contradições (p.ex. diluição da massa observável). Assim (f) é falsa.
Resposta
(f ) O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.