1. (2,0 pontos) Das afirmações abaixo, apenas uma é falsa. Identifique-a e justifique sua resposta.
    (v) Segundo a hipótese de De Broglie, partículas materiais possuem propriedades ondulatórias associadas ao seu movimento.
    (f ) O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.
    (v ) A interpretação probabilística de Born afirma que o módulo ao quadrado da função de onda está relacionado à probabilidade de localizar uma partícula em uma determinada regiāo do espaço.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (as três afirmações que aparecem no enunciado):
  • (v) Segundo a hipótese de De Broglie, partículas materiais possuem propriedades ondulatórias associadas ao seu movimento.
  • (f ) O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.
  • (v ) A interpretação probabilística de Born afirma que o módulo ao quadrado da função de onda está relacionado à probabilidade de localizar uma partícula em uma determinada região do espaço.
O que o exercício pede: identificar qual das três afirmações é falsa e justificar por que ela é falsa.

Passo 2

Explicando a afirmação (v) sobre De Broglie e por que ela é verdadeira.
  • O que diz De Broglie: a cada partícula com momento linear p associa-se uma onda com comprimento de onda
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck. Aqui p é o momento da partícula (para não-relativístico p=m v).
  • Significado físico: isso não diz que a partícula é literalmente uma onda clássica, mas que o comportamento da partícula pode apresentar fenômenos de interferência e difração típicos de ondas. Experimentos (difração de elétrons, por exemplo) confirmam essa hipótese.
  • Conclusão: a afirmação (v) é correta: De Broglie propõe propriedades ondulatórias para partículas materiais.

Passo 3

Explicando a afirmação (v) sobre Born e por que ela é verdadeira.
  • Enunciado de Born (forma usual): a função de onda \psi(\mathbf{r},t) é um amplitude de probabilidade e o seu módulo ao quadrado dá a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em \mathbf{r} no tempo t:
\rho(\mathbf{r},t)=|\psi(\mathbf{r},t)|^{2}.
  • Normalização: para uma partícula localizada no espaço inteiro, exige-se
\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r},t)|^{2}\,d^3r = 1,
isto é, a probabilidade total de encontrar a partícula em algum ponto do espaço é 1.
  • Interpretação física: essa é a interpretação padrão da mecânica quântica que reconciliou o caráter ondulatório da função de onda com a observação de partículas localizadas em medidas.
  • Conclusão: a afirmação sobre Born está correta.

Passo 4

O que é um pacote de ondas e por que ele pode alargar (introdução física passo a passo).
  • Definição simples: um pacote de ondas é uma combinação (superposição) de ondas planas com diferentes números de onda k. Em 1D, uma representação genérica é
\psi(x,t)=\int A(k)\,e^{i\left(kx-\omega(k)t\right)}\,dk,
onde A(k) é o espectro (quanto cada k contribui) e \omega(k) é a relação de dispersão.
  • Relação de dispersão para partícula livre não-relativística:
\omega(k)=\frac{\hbar k^{2}}{2m},
onde \hbar=\dfrac{h}{2\pi} e m é a massa da partícula.
  • Grupo e fase:
    • velocidade de fase: v_{\text{ph}}=\dfrac{\omega}{k},
    • velocidade de grupo: v_{g}=\dfrac{d\omega}{dk}=\dfrac{\hbar k}{m}=\dfrac{p}{m}.
  • Dispersão e alargamento: se \omega(k) não é linear em k (caso aqui, é quadrática), diferentes componentes k propagam com diferentes velocidades de fase, e isso faz com que o pacote mude de forma e tipicamente se alargue com o tempo — fenômeno chamado dispersão.

Passo 5

Exemplo concreto e fórmula do alargamento (mostra por que o pacote alarga para uma partícula livre).
  • Considere um pacote gaussiano inicial com largura espacial (desvio padrão) \sigma_{0}. O cálculo (padrão em mecânica quântica) dá para a largura temporal \sigma_x(t) a expressão
\sigma_x(t)=\sigma_{0}\sqrt{1+\left(\dfrac{\hbar t}{2m\sigma_{0}^{2}}\right)^{2}}.
  • Interpretação das variáveis:
    • \sigma_{0} é a largura inicial do pacote em posição (quanto a partícula está localizada inicialmente),
    • m é a massa da partícula,
    • t é o tempo.
  • Observação: para t\gg 2m\sigma_{0}^{2}/\hbar a largura cresce aproximadamente linearmente com t; isto é, o pacote efetivamente se espalha no tempo, mesmo sem nenhuma força externa (partícula livre).

Passo 6

Por que a afirmação (f) é falsa — discussão física e conceptual, passo a passo.
  • O que a afirmação (f) diz: “O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.” Ou seja, ela afirma que, porque o pacote se alarga, isso seria evidência de que \psi é uma onda material (algo como uma densidade de matéria que se espalha).
  • Por que isso é enganoso/errado:
    1. Se \psi fosse uma onda material clássica que representa literalmente a distribuição de matéria (uma densidade de massa espalhada), o alargamento implicaria que a própria partícula física se “espalha” e sua massa se dilui no espaço. Na prática experimental, partículas individuais (elétrons, átomos isolados) não são observadas como “massas que se diluem” depois de preparadas — o que se observa é que a probabilidade de detectar a partícula em posições diferentes muda com o tempo.
    2. O alargamento ocorre mesmo para uma partícula livre, e sua explicação natural é probabilística: o pacote é a amplitude de probabilidade e o alargamento indica aumento da incerteza na posição com o tempo (difusão da probabilidade), não expansão física do objeto. Isso concorda com a interpretação de Born.
    3. Além disso, uma onda material clássica em um meio não-dispersivo manteria a forma do pacote (sem alargar). O alargamento por si só não “reforça” uma interpretação material clássica — na verdade, a necessidade de apelar para a interpretação probabilística é precisamente para evitar a conclusão absurda de que partículas macroscópicas se espalhariam fisicamente como uma nuvem.
    4. Historicamente, a descoberta do alargamento do pacote foi um dos motivos pelos quais a função de onda deixou de ser vista como representação direta da matéria e passou a ser vista como amplitude de probabilidade: era preciso reconciliar comportamento ondulatório com detecções pontuais de partículas.
  • Conclusão lógica: o alargamento do pacote de ondas não reforça a ideia de que a função de onda seja uma onda material clássica; ao contrário, é mais consistente com a interpretação probabilística (Born) e com a ideia de que \psi dá probabilidades, não uma densidade de massa literal. Portanto a afirmação (f) é falsa.

Passo 7

Resumo final da justificativa curta e direta (para lembrar na prova):
  • De Broglie: correto — partículas têm comprimento de onda \lambda=h/p.
  • Born: correto — |\psi|^2 é densidade de probabilidade.
  • Pacote alarga: isso mostra dispersão de amplitudes de probabilidade; interpretar isso como “onda material clássica” leva a contradições (p.ex. diluição da massa observável). Assim (f) é falsa.

Resposta

(f ) O alargamento do pacote de ondas reforça a interpretação da função de onda como uma onda material clássica.

Exercícios relacionados