(6 pontos) Para transportar uma carga extremamente pesada, certo caminhão trafega a uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um rapaz à beira da estrada brinca com uma bola de tênis. Quando o caminhão passa, o rapaz resolve jogar a bola na traseira do mesmo. Sabendo que a bola atinge a traseira do caminhão perpendicularmente, com velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, em relação ao solo, quial a velocidade horizontal final da bola após o choque, considerado perfeitamente elástico?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte.
  • Informações do enunciado:
    • O caminhão tem uma carga extremamente pesada (ou seja, sua massa é muito maior que a da bola).
    • A velocidade do caminhão em relação ao solo é \;10\\ \mathrm{m/s}.
    • A bola atinge a traseira do caminhão perpendicularmente com velocidade em relação ao solo de \;20\\ \mathrm{m/s}.
    • O choque é perfeitamente elástico.
  • O que é pedido:
    • A velocidade horizontal final da bola após o choque (em relação ao solo).

Passo 2

Escolha de sinais e interpretação geométrica (para não embolar tudo).
  • Vou tomar o sentido do movimento do caminhão como positivo (para a frente).
  • Como a bola atinge a traseira do caminhão perpendicularmente, o choque ocorre ao longo do eixo horizontal (é effectively uma colisão 1D ao longo da direção do movimento do caminhão).
  • Assim, as velocidades iniciais são:
    • velocidade do caminhão: \;V=10\\ \mathrm{m/s},
    • velocidade da bola: \;v=20\\ \mathrm{m/s}.
(Estou assumindo a interpretação natural: a bola é lançada para a frente e alcança a traseira do caminhão vindo por trás, portanto ambas as velocidades têm o mesmo sentido positivo.)

Passo 3

Princípio físico importante para choque perfeitamente elástico em 1 dimensão (a mini-aula).
  • Em uma colisão elástica entre duas massas m_1 (bola) e m_2 (caminhão), valem a conservação da quantidade de movimento e da energia cinética: m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'
\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2
onde v_1,v_2 são as velocidades iniciais e v_1',v_2' as finais.
  • Uma consequência muito útil (e que você pode usar em prova) é que, em colisões elásticas 1D, a velocidade relativa inverte de sinal: v_1' - v_2' = -(v_1 - v_2).Explicação curta de por que isso vale: subtraindo e manipulando as equações de conservação acima chega-se a essa relação — intuitivamente significa que o afastamento relativo após o choque tem a mesma magnitude do aproximamento relativo antes, mas invertido de sinal.

Passo 4

Tratamento da massa muito grande do caminhão (ou seja, por que podemos considerar a velocidade do caminhão praticamente inalterada).
  • O enunciado diz que a carga é extremamente pesada. Isso implica m_2 \gg m_1.
  • Quando uma massa muito grande colide com uma massa muito pequena, a velocidade da massa grande muda muito pouco pela conservação do momento (a variação é proporcional à razão m_1/m_2, que é quase zero).
  • Portanto, podemos aproximar v_2' \approx v_2 = V.Ou seja, o caminhão continua essencialmente com a mesma velocidade \;10\\ \mathrm{m/s} após o choque.

Passo 5

Aplicando a propriedade da inversão da velocidade relativa e a aproximação do passo anterior para achar v_1'.
  • Use a relação de inversão: v_1' - v_2' = -(v_1 - v_2).
  • Substituindo v_2' \approx V, v_2=V, v_1=v: v_1' - V = -(v - V).
  • Isolando v_1': v_1' = 2V - v.
  • Agora substituímos os números: V=10\\ \mathrm{m/s} e v=20\\ \mathrm{m/s}: v_1' = 2\cdot 10 - 20 = 20 - 20 = 0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação física e reforço da intuição.
  • O resultado \;v_1'=0\\ \mathrm{m/s} significa que, imediatamente após o choque, a bola fica instantaneamente parada em relação ao solo.
  • Intuição: a traseira do caminhão é como uma “parede” muito massiva em movimento; uma bola que chega com velocidade relativa para frente bate nessa parede e, num choque elástico com parede muito pesada, a componente relativa do movimento é invertida — como o caminhão já se move para frente a 10\\ \mathrm{m/s}, essa inversão faz com que a bola acabe estacionária em relação ao solo.

Resposta

0\\ \mathrm{m/s}

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