(6 pontos) Para transportar uma carga extremamente pesada, certo caminhão trafega a uma velocidade de
. Um rapaz à beira da estrada brinca com uma bola de tênis. Quando o caminhão passa, o rapaz resolve jogar a bola na traseira do mesmo. Sabendo que a bola atinge a traseira do caminhão perpendicularmente, com velocidade de
, em relação ao solo, quial a velocidade horizontal final da bola após o choque, considerado perfeitamente elástico?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte.
-
Informações do enunciado:
- O caminhão tem uma carga extremamente pesada (ou seja, sua massa é muito maior que a da bola).
- A velocidade do caminhão em relação ao solo é
. - A bola atinge a traseira do caminhão perpendicularmente com velocidade em relação ao solo de
. - O choque é perfeitamente elástico.
-
O que é pedido:
- A velocidade horizontal final da bola após o choque (em relação ao solo).
Passo 2
Escolha de sinais e interpretação geométrica (para não embolar tudo).
- Vou tomar o sentido do movimento do caminhão como positivo (para a frente).
- Como a bola atinge a traseira do caminhão perpendicularmente, o choque ocorre ao longo do eixo horizontal (é effectively uma colisão 1D ao longo da direção do movimento do caminhão).
- Assim, as velocidades iniciais são:
- velocidade do caminhão:
, - velocidade da bola:
.
- velocidade do caminhão:
(Estou assumindo a interpretação natural: a bola é lançada para a frente e alcança a traseira do caminhão vindo por trás, portanto ambas as velocidades têm o mesmo sentido positivo.)
Passo 3
Princípio físico importante para choque perfeitamente elástico em 1 dimensão (a mini-aula).
- Em uma colisão elástica entre duas massas
(bola) e (caminhão), valem a conservação da quantidade de movimento e da energia cinética:
onde
são as velocidades iniciais e
as finais.
- Uma consequência muito útil (e que você pode usar em prova) é que, em colisões elásticas 1D, a velocidade relativa inverte de sinal:
Explicação curta de por que isso vale: subtraindo e manipulando as equações de conservação acima chega-se a essa relação — intuitivamente significa que o afastamento relativo após o choque tem a mesma magnitude do aproximamento relativo antes, mas invertido de sinal.
Passo 4
Tratamento da massa muito grande do caminhão (ou seja, por que podemos considerar a velocidade do caminhão praticamente inalterada).
- O enunciado diz que a carga é extremamente pesada. Isso implica
. - Quando uma massa muito grande colide com uma massa muito pequena, a velocidade da massa grande muda muito pouco pela conservação do momento (a variação é proporcional à razão
, que é quase zero). - Portanto, podemos aproximar
Ou seja, o caminhão continua essencialmente com a mesma velocidade após o choque.
Passo 5
Aplicando a propriedade da inversão da velocidade relativa e a aproximação do passo anterior para achar
.
- Use a relação de inversão:
- Substituindo
, , : - Isolando
: - Agora substituímos os números:
e :
Passo 6
Interpretação física e reforço da intuição.
- O resultado
significa que, imediatamente após o choque, a bola fica instantaneamente parada em relação ao solo. - Intuição: a traseira do caminhão é como uma “parede” muito massiva em movimento; uma bola que chega com velocidade relativa para frente bate nessa parede e, num choque elástico com parede muito pesada, a componente relativa do movimento é invertida — como o caminhão já se move para frente a
, essa inversão faz com que a bola acabe estacionária em relação ao solo.