6- (a) Se duas ondas sonoras, uma no ar, e a outra em água doce, tiverem a mesma intensidade, qual será a razão entre as amplitudes de pressão da onda na água e no ar ( \Delta \mathrm{p} \_ág / \Delta \mathrm{p} \_ar)? (b) Se ao invés disto, as amplitudes de pressão forem iguais, qual será a razão entre as intensidades das ondas? Considere as densidades da água e do ar respectivamente iguais a 998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e 1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas e dá as seguintes informações:
  • Pergunta (a): Se duas ondas sonoras — uma no ar e outra em água doce — têm a mesma intensidade, qual é a razão entre as amplitudes de pressão da onda na água e no ar, isto é \Delta p_{\text{água}}/\Delta p_{\text{ar}}á?
  • Pergunta (b): Se, ao invés disso, as amplitudes de pressão forem iguais, qual será a razão entre as intensidades das ondas, isto é I_{\text{água}}/I_{\text{ar}}á?
  • Dados numéricos fornecidos: \rho_{\text{água}}=998\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e \rho_{\text{ar}}=1{,}21\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Observação prática: para completar os cálculos precisamos do valor da velocidade do som em cada meio; usarei valores típicos em condições ambientes:
    \;c_{\text{ar}}\approx343\\ \mathrm{m/s} e \;c_{\text{água}}\approx1480\\ \mathrm{m/s}.á

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): relação entre intensidade média e amplitude de pressão.
  • Para uma onda sonora harmónica progressiva, a intensidade média (potência por unidade de área) está relacionada com a amplitude máxima da pressão \Delta p, a densidade \rho e a velocidade do som c por
I=\frac{\Delta p^{2}}{2\,\rho\,c}.
Expliquei por que aparece esse fator: a potência média envolve o produto da pressão instantânea pela velocidade de partícula; para uma oscilação harmónica a média de \sin^{2} sobre um ciclo é 1/2, daí o fator 1/2. Nesta fórmula:
  • \;I é a intensidade média (W/m²),
  • \;\Delta p é a amplitude (pico) da variação de pressão (Pa),
  • \;\rho é a densidade do meio (kg/m³),
  • \;c é a velocidade do som no meio (m/s).

Passo 3

Resolvendo (a): mesmas intensidades, queremos \Delta p_{\text{água}}/\Delta p_{\text{ar}}á.
  • Igualando as intensidades nos dois meios e usando a fórmula,
\frac{\Delta p_{\text{água}}^{2}}{2\,\rho_{\text{água}}\,c_{\text{água}}}=\frac{\Delta p_{\text{ar}}^{2}}{2\,\rho_{\text{ar}}\,c_{\text{ar}}}.ááá
  • Cancelando 1/2 e isolando a razão das amplitudes,
\frac{\Delta p_{\text{água}}}{\Delta p_{\text{ar}}} =\sqrt{\frac{\rho_{\text{água}}\,c_{\text{água}}}{\rho_{\text{ar}}\,c_{\text{ar}}}}.ááá
Esta fórmula diz que, para a mesma intensidade, a amplitude de pressão escala com a raiz da impedância acústica Z=\rho c do meio.

Passo 4

Cálculo numérico da parte (a) usando os valores escolhidos para c.
  • Primeiro cálculo dos produtos \rho c:
\rho_{\text{água}}\,c_{\text{água}}=998\times1480=1{,}47704\times10^{6},áá
\rho_{\text{ar}}\,c_{\text{ar}}=1{,}21\times343=415{,}03.
  • Agora a razão das amplitudes:
\frac{\Delta p_{\text{água}}}{\Delta p_{\text{ar}}} =\sqrt{\frac{1{,}47704\times10^{6}}{415{,}03}} \approx\sqrt{3559{,}6}\approx59{,}7.á
Interpretação rápida: para ter a mesma intensidade, a amplitude de pressão na água precisa ser cerca de 60 vezes maior do que no ar — água tem impedância muito maior.

Passo 5

Resolvendo (b): amplitudes de pressão iguais, queremos a razão das intensidades I_{\text{água}}/I_{\text{ar}}á.
  • Se \Delta p_{\text{água}}=\Delta p_{\text{ar}}=\Delta pá, pela fórmula da intensidade temos
I=\frac{\Delta p^{2}}{2\,\rho\,c}\quad\Rightarrow\quad \frac{I_{\text{água}}}{I_{\text{ar}}} =\frac{\rho_{\text{ar}}\,c_{\text{ar}}}{\rho_{\text{água}}\,c_{\text{água}}}.ááá
  • Usando os valores calculados no passo anterior,
\frac{I_{\text{água}}}{I_{\text{ar}}} =\frac{415{,}03}{1{,}47704\times10^{6}} \approx2{,}81\times10^{-4}.á
Interpretação: se as amplitudes de pressão forem as mesmas nos dois meios, a intensidade na água é cerca de 2{,}8\times10^{-4} da intensidade no ar — muito menor.

Passo 6

Cheque rápido de consistência:
  • Note que o resultado de (b) é o inverso do quadrado do resultado de (a):
\left(\frac{\Delta p_{\text{água}}}{\Delta p_{\text{ar}}}\right)^{2} =\frac{\rho_{\text{água}}c_{\text{água}}}{\rho_{\text{ar}}c_{\text{ar}}} \quad\Rightarrow\quad \frac{I_{\text{água}}}{I_{\text{ar}}} =\frac{1}{\left(\frac{\Delta p_{\text{água}}}{\Delta p_{\text{ar}}}\right)^{2}},ááááá
o que é satisfeito numericamente pelos valores acima (verifica-se a reciprocidade).

Resposta

\dfrac{\Delta p_{\text{água}}}{\Delta p_{\text{ar}}}\approx59{,}7á
\dfrac{I_{\text{água}}}{I_{\text{ar}}}\approx2{,}81\times10^{-4}á

Exercícios relacionados