Questão 12 - Um grande reservatório térmico Q mantém sua temperatura em 900 K e outro F mantém sua temperatura em 300 K . (a) Calcule a variação da entropia do Universo, se 100 cal são transferidas do reservatório Q para o F . (b) Uma máquina de Carnot passa a operar entre os reservatórios Q e F. Para cada 100 cal removidas de H, qual o trabalho realizado e quanto calor é cedido ao reservatório F? (c) Qual é a mudança de entropia do Universo neste caso? (d) Considere agora uma máquina real funcionando entre os reservatórios Q e F. O que podemos dizer sobre a entropia do Universo neste caso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados:
    • Temperatura do reservatório Q (quente): \,T_{Q}=900\\ \text{K}.
    • Temperatura do reservatório F (frio): \,T_{F}=300\\ \text{K}.
    • Quantidade de calor transferida do reservatório Q para F: \,Q=100\\ \text{cal} (isto é, 100 cal saem de Q e chegam em F).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a variação de entropia do Universo quando 100 cal são transferidos diretamente do reservatório Q para o F.
    • (b) Para uma máquina de Carnot operando entre Q e F, para cada 100 cal removidas de Q, qual é o trabalho realizado e quanto calor é cedido ao reservatório F?
    • (c) Qual a mudança de entropia do Universo no caso da máquina de Carnot do item (b)?
    • (d) Para uma máquina real (irreversível) entre os mesmos reservatórios, o que podemos afirmar sobre a entropia do Universo?

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagar, como se estivéssemos na prova):
  • Definição prática de entropia para um reservatório térmico grande e a temperatura constante:
    • Quando um corpo que está a temperatura constante T recebe ou perde uma quantidade de calor \,Q de forma quasi‑reversível, a variação de entropia do corpo é
    \Delta S=\frac{Q}{T}.
    • Aqui: se o reservatório perde calor (calor saindo dele ), então usamos Q<0 e a variação ficará negativa; se ganha calor, Q>0 e \Delta S>0.
    • Justificativa curta: a definição termodinâmica elementar é dS=\frac{\delta Q_\text{rev}}{T}. Para um salto finito a temperatura constante, integra-se e obtém-se \Delta S=Q/T.
  • Entropia do Universo na transferência direta entre dois reservatórios:
    • Se Q sai do reservatório quente T_{Q} e a mesma quantidade Q entra no frio T_{F}, a variação total de entropia do Universo é
    \Delta S_\text{univ}=\Delta S_{Q}+\Delta S_{F}=-\frac{Q}{T_{Q}}+\frac{Q}{T_{F}}.
    • Note o sinal negativo para Q do reservatório quente (ele perde calor).
  • Máquina de Carnot (motor térmico reversível ideal):
    • Eficiência de Carnot entre duas temperaturas é
    \eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_{F}}{T_{Q}}.
    • Para um ciclo de Carnot (reversível), as quantidades de calor se relacionam por
    \frac{Q_{F}}{Q_{Q}}=\frac{T_{F}}{T_{Q}},onde Q_{Q} é o calor retirado do quente e Q_{F} o calor cedido ao frio.
    • Trabalho extraído por ciclo vale
    W=Q_{Q}-Q_{F}=\eta_{\text{Carnot}}\,Q_{Q}.

Passo 3

Resolvendo (a): entropia do Universo quando 100 cal passam diretamente de T_{Q}=900\\ \text{K} para T_{F}=300\\ \text{K}.
  • Aplicando a fórmula
\Delta S_\text{univ}=-\frac{Q}{T_{Q}}+\frac{Q}{T_{F}}.
  • Substituindo Q=100\\ \text{cal}, T_{Q}=900\\ \text{K}, T_{F}=300\\ \text{K}:
\Delta S_\text{univ}=-\frac{100}{900}+\frac{100}{300}.
  • Calcule passo a passo: coloque tudo sobre denominador comum 900:
-\frac{100}{900}+\frac{100}{300}=-\frac{100}{900}+\frac{300}{900}=\frac{200}{900}=\frac{2}{9}.
  • Em unidades de \text{cal}\!/\!\text{K} isso é
\Delta S_\text{univ}=\frac{2}{9}\\ \text{cal}\!/\!\text{K}\approx 0,222\ldots\\ \text{cal}\!/\!\text{K}.
  • Se quiser em \text{J}\!/\!\text{K}, usando 1\\ \text{cal}=4,186\\ \text{J}:
\Delta S_\text{univ}\approx\frac{2}{9}\times 4,186\\ \text{J}\!/\!\text{K}\approx 0,929\\ \text{J}\!/\!\text{K}.
  • Interpretação rápida: a entropia do Universo aumenta ( \Delta S_\text{univ}>0), ou seja, a transferência direta é irreversível e produz entropia.

Passo 4

Resolvendo (b): máquina de Carnot entre T_{Q}=900\\ \text{K} e T_{F}=300\\ \text{K}. Queremos, para cada 100\\ \text{cal} retiradas do reservatório quente ( Q_{Q}=100\\ \text{cal}), o trabalho W e o calor cedido ao frio Q_{F}.
  • Primeiro calcule a eficiência de Carnot:
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_{F}}{T_{Q}}=1-\frac{300}{900}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
  • Trabalho realizado:
W=\eta_{\text{Carnot}}\,Q_{Q}=\frac{2}{3}\times 100=\frac{200}{3}\\ \text{cal}\approx 66,666\ldots\\ \text{cal}.
  • Calor cedido ao reservatório frio:
Q_{F}=Q_{Q}-W=100-\frac{200}{3}=\frac{100}{3}\\ \text{cal}\approx 33,333\ldots\\ \text{cal}.
  • Verificação usando a relação Q_{F}/Q_{Q}=T_{F}/T_{Q}=1/3:
Q_{F}=100\times\frac{1}{3}=\frac{100}{3}\\ \text{cal},
coerente.
  • Se quiser em joules: W\approx 66,666\ldots\times 4,186\\ \text{J}\approx 279,07\\ \text{J} e Q_{F}\approx 33,333\ldots\times 4,186\\ \text{J}\approx 139,53\\ \text{J}.

Passo 5

Resolvendo (c): mudança de entropia do Universo para a máquina de Carnot do item (b).
  • Para o reservatório quente: ele perde Q_{Q}=100\\ \text{cal}, então
\Delta S_{Q}=-\frac{Q_{Q}}{T_{Q}}=-\frac{100}{900}=-\frac{1}{9}\\ \text{cal}\!/\!\text{K}\approx -0,111111\\ \text{cal}\!/\!\text{K}.
  • Para o reservatório frio: ele recebe Q_{F}=\frac{100}{3}\\ \text{cal}, então
\Delta S_{F}=\frac{Q_{F}}{T_{F}}=\frac{100/3}{300}=\frac{100}{900}=\frac{1}{9}\\ \text{cal}\!/\!\text{K}\approx 0,111111\\ \text{cal}\!/\!\text{K}.
  • Soma:
\Delta S_\text{univ}=\Delta S_{Q}+\Delta S_{F}=-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=0.
  • Interpretação: como era de se esperar, o ciclo de Carnot é reversível e não produz entropia líquida; a entropia do Universo permanece constante ( \Delta S_\text{univ}=0).

Passo 6

Resolvendo (d): máquina real (irreversível) entre os mesmos reservatórios — o que acontece com a entropia do Universo?
  • Princípio (segunda lei): processos irreversíveis produzem entropia. Uma máquina real sempre tem irreversibilidades (atrito, dissipação, trocas de calor finitas, etc.), logo a entropia total do Universo aumenta.
  • Raciocínio numérico ou por desigualdade:
    • Para o caso reversível de Carnot temos a razão mínima Q_{F}/Q_{Q}=T_{F}/T_{Q}.
    • Para uma máquina real (irreversível), para a mesma quantidade Q_{Q} retirada da fonte quente, o trabalho real W_\text{real} será menor que W_{\text{Carnot}} (porque Carnot dá eficiência máxima). Assim Q_{F,\text{real}}=Q_{Q}-W_\text{real} será maior que Q_{F,\text{Carnot}}.
    • Então
    \Delta S_\text{univ}=-\frac{Q_{Q}}{T_{Q}}+\frac{Q_{F,\text{real}}}{T_{F}}>\!-\frac{Q_{Q}}{T_{Q}}+\frac{Q_{F,\text{Carnot}}}{T_{F}}=0,portanto \Delta S_\text{univ}>0.
  • Conclusão: para uma máquina real operando entre 900\\ \text{K} e 300\\ \text{K}, a entropia do Universo aumenta (é positiva).

Resposta

(a) \Delta S_\text{univ}=\dfrac{2}{9}\\ \text{cal}\!/\!\text{K}\approx 0,222\\ \text{cal}\!/\!\text{K}\approx 0,929\\ \text{J}\!/\!\text{K}.
(b) W=\dfrac{200}{3}\\ \text{cal}\approx 66,67\\ \text{cal},\quad Q_{F}=\dfrac{100}{3}\\ \text{cal}\approx 33,33\\ \text{cal}.
(c) \Delta S_\text{univ}=0.
(d) Para uma máquina real (irreversível) entre os mesmos reservatórios, \Delta S_\text{univ}>0 (a entropia do Universo aumenta).

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