Questão 12 - Um grande reservatório térmico Q mantém sua temperatura em 900 K e outro F mantém sua temperatura em 300 K . (a) Calcule a variação da entropia do Universo, se 100 cal são transferidas do reservatório Q para o F . (b) Uma máquina de Carnot passa a operar entre os reservatórios Q e F. Para cada 100 cal removidas de H, qual o trabalho realizado e quanto calor é cedido ao reservatório F? (c) Qual é a mudança de entropia do Universo neste caso? (d) Considere agora uma máquina real funcionando entre os reservatórios Q e F. O que podemos dizer sobre a entropia do Universo neste caso?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Dados:
- Temperatura do reservatório Q (quente):
. - Temperatura do reservatório F (frio):
. - Quantidade de calor transferida do reservatório Q para F:
(isto é, 100 cal saem de Q e chegam em F).
- Temperatura do reservatório Q (quente):
- Perguntas:
- (a) Calcular a variação de entropia do Universo quando 100 cal são transferidos diretamente do reservatório Q para o F.
- (b) Para uma máquina de Carnot operando entre Q e F, para cada 100 cal removidas de Q, qual é o trabalho realizado e quanto calor é cedido ao reservatório F?
- (c) Qual a mudança de entropia do Universo no caso da máquina de Carnot do item (b)?
- (d) Para uma máquina real (irreversível) entre os mesmos reservatórios, o que podemos afirmar sobre a entropia do Universo?
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagar, como se estivéssemos na prova):
- Definição prática de entropia para um reservatório térmico grande e a temperatura constante:
- Quando um corpo que está a temperatura constante
recebe ou perde uma quantidade de calor de forma quasi‑reversível, a variação de entropia do corpo é
- Aqui: se o reservatório perde calor
calor saindo dele , então usamos e a variação ficará negativa; se ganha calor, e . - Justificativa curta: a definição termodinâmica elementar é
. Para um salto finito a temperatura constante, integra-se e obtém-se .
- Quando um corpo que está a temperatura constante
- Entropia do Universo na transferência direta entre dois reservatórios:
- Se
sai do reservatório quente e a mesma quantidade entra no frio , a variação total de entropia do Universo é
- Note o sinal negativo para
do reservatório quente (ele perde calor).
- Se
- Máquina de Carnot (motor térmico reversível ideal):
- Eficiência de Carnot entre duas temperaturas é
- Para um ciclo de Carnot (reversível), as quantidades de calor se relacionam por
onde é o calor retirado do quente e o calor cedido ao frio. - Trabalho extraído por ciclo vale
Passo 3
Resolvendo (a): entropia do Universo quando 100 cal passam diretamente de
para
.
- Aplicando a fórmula
- Substituindo
, , :
- Calcule passo a passo: coloque tudo sobre denominador comum
:
- Em unidades de
isso é
- Se quiser em
, usando :
- Interpretação rápida: a entropia do Universo aumenta (
), ou seja, a transferência direta é irreversível e produz entropia.
Passo 4
Resolvendo (b): máquina de Carnot entre
e
. Queremos, para cada
retiradas do reservatório quente (
), o trabalho
e o calor cedido ao frio
.
- Primeiro calcule a eficiência de Carnot:
- Trabalho realizado:
- Calor cedido ao reservatório frio:
- Verificação usando a relação
:
coerente.
- Se quiser em joules:
e .
Passo 5
Resolvendo (c): mudança de entropia do Universo para a máquina de Carnot do item (b).
- Para o reservatório quente: ele perde
, então
- Para o reservatório frio: ele recebe
, então
- Soma:
- Interpretação: como era de se esperar, o ciclo de Carnot é reversível e não produz entropia líquida; a entropia do Universo permanece constante (
).
Passo 6
Resolvendo (d): máquina real (irreversível) entre os mesmos reservatórios — o que acontece com a entropia do Universo?
- Princípio (segunda lei): processos irreversíveis produzem entropia. Uma máquina real sempre tem irreversibilidades (atrito, dissipação, trocas de calor finitas, etc.), logo a entropia total do Universo aumenta.
- Raciocínio numérico ou por desigualdade:
- Para o caso reversível de Carnot temos a razão mínima
. - Para uma máquina real (irreversível), para a mesma quantidade
retirada da fonte quente, o trabalho real será menor que (porque Carnot dá eficiência máxima). Assim será maior que . - Então
portanto . - Para o caso reversível de Carnot temos a razão mínima
- Conclusão: para uma máquina real operando entre
e , a entropia do Universo aumenta (é positiva).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Para uma máquina real (irreversível) entre os mesmos reservatórios, (a entropia do Universo aumenta).
(b)
(c)
(d) Para uma máquina real (irreversível) entre os mesmos reservatórios,