Um sistema com 1 GDL possui
,
, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
Passo 1
O enunciado dá um sistema com 1 GDL submetido a excitação harmônica e pede a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação é
.
Informações fornecidas:
O que precisamos encontrar:
- a amplitude
da resposta no regime permanente (deslocamento em função do tempo), - o ângulo de fase
entre a força excitadora e o deslocamento (ou seja, o deslocamento pode ser escrito como ).
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento para o sistema massa-mola-amortecedor com excitação harmônica:
Explicando cada termo:
-
é o deslocamento (em metros), -
é a velocidade (m/s), -
é a aceleração (m/s ), -
é a força inercial, -
é a força de amortecimento (proporcional à velocidade), -
é a força elástica (proporcional ao deslocamento), -
é a força externa harmônica de amplitude e frequência angular .
No regime permanente forçado, a resposta terá a mesma frequência da excitação. Assumimos a solução do tipo
onde
é a amplitude (positiva) e
é o ângulo de fase (positivo indica atraso de
em relação à força).
Passo 3
Vamos obter fórmulas de
e
substituindo
na equação de movimento.
Derivadas:
Substituindo na equação:
Para manipular com facilidade, expandimos
e
em termos de
e
:
Agrupando os coeficientes de
e
na equação resultante e exigindo que a igualdade seja válida para todo
, obtemos duas equações (coeficientes de
e de
):
Da segunda equação isolamos a tangente do ângulo:
Da primeira equação, usando identidade pitagórica a partir das duas equações (ou equivalendo o módulo do termo complexo), obtemos a amplitude:
Explicação curta: a combinação
é a magnitude do denominador da função de transferência do sistema para entrada força/saída deslocamento; ela representa a “impedância dinâmica” do sistema àquela frequência.
Passo 4
Agora calculamos numericamente passo a passo com os valores dados.
Calcule a frequência natural não amortecida
apenas para referência:
Observação: a frequência de excitação dada é
, que é exatamente metade aproximadamente de
(ou seja,
).
Calcule
:
Como
, uma forma rápida é usar
. Então
Portanto
Calcule
:
Agora a amplitude:
Detalhe das contas:
Logo
Em unidades mais familiares:
Agora o ângulo de fase (em radianos e graus):
Convertendo para graus:
Interpretação final: como
, o deslocamento está defasado em
(atrasado) em relação à força aplicada; isto é, a resposta é
com
.