Um sistema com 1 GDL possui \mathrm{m}=4 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=35 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, \mathrm{k}=\boldsymbol{8} \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
22,36 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um sistema com 1 GDL submetido a excitação harmônica e pede a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação é 22{,}36\\ \mathrm{rad/s}.
Informações fornecidas:
m = 4\\ \mathrm{kg},\quad c = 35\\ \mathrm{Ns/m},\quad k = 8\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m}, \quad F_0 = 20\\ \mathrm{N}, \quad \omega = 22{,}36\\ \mathrm{rad/s}.
O que precisamos encontrar:
  • a amplitude X da resposta no regime permanente (deslocamento em função do tempo),
  • o ângulo de fase \varphi entre a força excitadora e o deslocamento (ou seja, o deslocamento pode ser escrito como x(t)=X\sin(\omega t-\varphi)).

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento para o sistema massa-mola-amortecedor com excitação harmônica:
m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + k x(t) = F_0\sin(\omega t).
Explicando cada termo:
  • x(t) é o deslocamento (em metros),
  • \dot{x}(t) é a velocidade (m/s),
  • \ddot{x}(t) é a aceleração (m/s ^2),
  • m\ddot{x} é a força inercial,
  • c\dot{x} é a força de amortecimento (proporcional à velocidade),
  • k x é a força elástica (proporcional ao deslocamento),
  • F_0\sin(\omega t) é a força externa harmônica de amplitude F_0 e frequência angular \omega.
No regime permanente forçado, a resposta terá a mesma frequência da excitação. Assumimos a solução do tipo
x(t)=X\sin(\omega t-\varphi),
onde X é a amplitude (positiva) e \varphi é o ângulo de fase (positivo indica atraso de x em relação à força).

Passo 3

Vamos obter fórmulas de X e \varphi substituindo x(t)=X\sin(\omega t-\varphi) na equação de movimento.
Derivadas:
\dot{x}(t)=\omega X\cos(\omega t-\varphi),\qquad \ddot{x}(t)=-\omega^{2}X\sin(\omega t-\varphi).
Substituindo na equação:
m(-\omega^{2}X\sin(\omega t-\varphi)) + c(\omega X\cos(\omega t-\varphi)) + k(X\sin(\omega t-\varphi)) = F_0\sin(\omega t).
Para manipular com facilidade, expandimos \sin(\omega t-\varphi) e \cos(\omega t-\varphi) em termos de \sin(\omega t) e \cos(\omega t):
\sin(\omega t-\varphi)=\sin\omega t\cos\varphi - \cos\omega t\sin\varphi,
\cos(\omega t-\varphi)=\cos\omega t\cos\varphi + \sin\omega t\sin\varphi.
Agrupando os coeficientes de \sin\omega t e \cos\omega t na equação resultante e exigindo que a igualdade seja válida para todo t, obtemos duas equações (coeficientes de \sin\omega t e de \cos\omega t):
\big(k - m\omega^{2}\big)X\cos\varphi + c\omega X\sin\varphi = F_0,
-\big(k - m\omega^{2}\big)X\sin\varphi + c\omega X\cos\varphi = 0.
Da segunda equação isolamos a tangente do ângulo:
-\big(k - m\omega^{2}\big)\sin\varphi + c\omega\cos\varphi = 0 \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi = \frac{c\omega}{k - m\omega^{2}}.
Da primeira equação, usando identidade pitagórica a partir das duas equações (ou equivalendo o módulo do termo complexo), obtemos a amplitude:
X = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}}.
Explicação curta: a combinação \sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}} é a magnitude do denominador da função de transferência do sistema para entrada força/saída deslocamento; ela representa a “impedância dinâmica” do sistema àquela frequência.

Passo 4

Agora calculamos numericamente passo a passo com os valores dados.
Calcule a frequência natural não amortecida \omega_n apenas para referência:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{8\times 10^{3}}{4}}=\sqrt{2000}\approx 44{,}721\\ \mathrm{rad/s}.
Observação: a frequência de excitação dada é \omega=22{,}36\\ \mathrm{rad/s}, que é exatamente metade aproximadamente de \omega_n (ou seja, \omega\approx\omega_n/2).
Calcule k - m\omega^{2}:
m\omega^{2} = m(\omega)^{2} = 4\cdot (22{,}36)^{2}.
Como \omega = \omega_n/2, uma forma rápida é usar m\omega^{2} = \dfrac{k}{4}. Então
m\omega^{2} = \frac{k}{4} = \frac{8000}{4} = 2000\\ \mathrm{N/m}.
Portanto
k - m\omega^{2} = 8000 - 2000 = 6000\\ \mathrm{N/m}.
Calcule c\omega:
c\omega = 35\cdot 22{,}36 = 782{,}6\\ \mathrm{N/m}.
Agora a amplitude:
X = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}} = \frac{20}{\sqrt{6000^{2} + 782{,}6^{2}}}.
Detalhe das contas:
6000^{2}=36\,000\,000,
782{,}6^{2}\approx 612\,462{,}76,
6000^{2}+782{,}6^{2}\approx 36\,612\,462{,}76,
\sqrt{36\,612\,462{,}76}\approx 6050{,}82.
Logo
X \approx \frac{20}{6050{,}82}\approx 0{,}003305\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais familiares: X\approx 3{,}305\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=3{,}305\\ \mathrm{mm}.
Agora o ângulo de fase (em radianos e graus):
\tan\varphi = \frac{c\omega}{k - m\omega^{2}} = \frac{782{,}6}{6000}\approx 0{,}1304333.
\varphi = \arctan(0{,}1304333)\approx 0{,}1297\\ \mathrm{rad}.
Convertendo para graus:
\varphi \approx 0{,}1297\times\frac{180}{\pi}\approx 7{,}43^\circ.
Interpretação final: como k - m\omega^{2}>0, o deslocamento está defasado em \varphi (atrasado) em relação à força aplicada; isto é, a resposta é x(t)=X\sin(\omega t-\varphi) com \varphi>0.

Resposta

X \approx 3{,}305\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} (\approx 3{,}305\\ \mathrm{mm})\n
\varphi \approx 0{,}1297\\ \mathrm{rad}\\ (\approx 7{,}43^\circ)

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