Entre os pontos A e B de uma tubulação horizontal com D=200 mm e
, escoa com óleo (
e
), no regime laminar. As pressões unitárias são P1 = 3,6 kgf/cm2 e P2 = 0,12 kgf/cm2. Calcular:
O coeficiente de atrito
O coeficiente de atrito
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um trecho de tubo horizontal de diâmetro D=200 mm (0,2 m) e comprimento L=0,4 km (400 m). O óleo que flui tem μ=0,0387 kgf·s/m², ρ=93,33 kg/m³ e γ=915 kgf/m³, em regime laminar. As pressões são P₁=3,6 kgf/cm² e P₂=0,12 kgf/cm².
Conteúdo: hidráulica de escoamento em tubos, mais especificamente a perda de carga pelo método de Darcy–Weisbach e a lei de Poiseuille para escoamento laminar (fator de atrito f=64/Re). Vamos precisar converter unidades, usar a relação ΔP↔carga (hf), a fórmula de Darcy–Weisbach e a expressão f=64/Re para regime laminar.
Conteúdo: hidráulica de escoamento em tubos, mais especificamente a perda de carga pelo método de Darcy–Weisbach e a lei de Poiseuille para escoamento laminar (fator de atrito f=64/Re). Vamos precisar converter unidades, usar a relação ΔP↔carga (hf), a fórmula de Darcy–Weisbach e a expressão f=64/Re para regime laminar.
Passo 2
Teoria envolvida:
- Darcy–Weisbach: a perda de carga hf (em m de fluido) está relacionada a ΔP por
hf = ΔP / γ,
e também
hf = f · (L/D) · (v² / (2 g)). - Em escoamento laminar em tubo, o fator de atrito f satisfaz
f = 64 / Re,
onde Re = ρ·v·D / μ.
Nosso plano:
a) calcular ΔP (em Pa) e γ (em N/m³);
b) escrever hf = ΔP/γ e igualar a fórmula Darcy–Weisbach;
c) usar f=64/Re para eliminar v e achar f em função de ΔP, μ, ρ, D e L;
d) inserir dados convertidos e obter f;
e) checar se Re<2100 para confirmar a hipótese laminar.
a) calcular ΔP (em Pa) e γ (em N/m³);
b) escrever hf = ΔP/γ e igualar a fórmula Darcy–Weisbach;
c) usar f=64/Re para eliminar v e achar f em função de ΔP, μ, ρ, D e L;
d) inserir dados convertidos e obter f;
e) checar se Re<2100 para confirmar a hipótese laminar.
Passo 3
Conversões de unidades (para o Sistema SI):
– ΔP = (P₁–P₂) em kgf/cm² → Pa
1 kgf/cm² = 9,80665 N / 1e-4 m² = 9,80665×10⁴ Pa
ΔP = (3,6–0,12)·9,80665×10⁴ = 3,48·9,80665×10⁴ ≈ 341 272 Pa.
– ΔP = (P₁–P₂) em kgf/cm² → Pa
1 kgf/cm² = 9,80665 N / 1e-4 m² = 9,80665×10⁴ Pa
ΔP = (3,6–0,12)·9,80665×10⁴ = 3,48·9,80665×10⁴ ≈ 341 272 Pa.
– γ = ρ·g = 93,33 kg/m³·9,81 m/s² ≈ 915,3 N/m³.
– μ = 0,0387 kgf·s/m² → Pa·s
1 kgf = 9,80665 N ⇒ μ = 0,0387·9,80665 ≈ 0,37965 Pa·s.
1 kgf = 9,80665 N ⇒ μ = 0,0387·9,80665 ≈ 0,37965 Pa·s.
Dados em SI:
D = 0,2 m, L = 400 m, ΔP = 341 272 Pa, γ = 915,3 N/m³, ρ = 93,33 kg/m³, μ = 0,37965 Pa·s, g = 9,81 m/s².
D = 0,2 m, L = 400 m, ΔP = 341 272 Pa, γ = 915,3 N/m³, ρ = 93,33 kg/m³, μ = 0,37965 Pa·s, g = 9,81 m/s².
Passo 4
Derivando f sem precisar achar v explicitamente:
- hf = ΔP/γ.
- Darcy–Weisbach: hf = f·(L/D)·(v²/(2g)).
- Lei de Poiseuille (laminar): f = 64/Re = 64·μ/(ρ·v·D).
Da (2) isolamos v²:
v² = (2g·hf·D)/(f·L).
Da (3) isolamos 1/v:
1/v = (ρ·D·f)/(64·μ).
Em vez de chutar muito, há uma forma rápida de eliminar v: ao final a expressão fica
f = (2048·μ²·L) / (ρ·D³·ΔP).
v² = (2g·hf·D)/(f·L).
Da (3) isolamos 1/v:
1/v = (ρ·D·f)/(64·μ).
Em vez de chutar muito, há uma forma rápida de eliminar v: ao final a expressão fica
f = (2048·μ²·L) / (ρ·D³·ΔP).
Você pode verificar a álgebra substituindo hf=ΔP/γ e γ=ρg.
Passo 5
Agora é só preencher:
f = (2048·(0,37965)²·400) / (93,33·(0,2)³·341 272)
f = (2048·(0,37965)²·400) / (93,33·(0,2)³·341 272)
Calculando:
numerador ≈ 2048·0.1441·400 ≈ 118 160
denominador ≈ 93,33·0.008·341 272 ≈ 254 850
Logo
f ≈ 118 160 / 254 850 ≈ 0,464
numerador ≈ 2048·0.1441·400 ≈ 118 160
denominador ≈ 93,33·0.008·341 272 ≈ 254 850
Logo
f ≈ 118 160 / 254 850 ≈ 0,464
Passo 6
Checagem da hipótese laminar:
Re = 64 / f ≈ 64 / 0,464 ≈ 138 (< 2100) ✅
Re = 64 / f ≈ 64 / 0,464 ≈ 138 (< 2100) ✅
Resposta
O coeficiente de atrito em regime laminar vale aproximadamente
f ≈ 0,464
f ≈ 0,464