3- (1,6 pontos)(Ufrj) O polinômio P(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 x+d, d \in \mathbb{R}, é divisível por (x-2).
a) Determine d
b) Calcule as raízes da equação P(x)=0

Passo 1

O enunciado dá o polinómio P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+d com d\in\mathbb{R} e afirma que P(x) é divisível por (x-2). As perguntas são:
a) Determine d.
b) Calcule as raízes da equação P(x)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes do polinómio: termo cúbico 1, quadrático -2, linear -5 e termo constante d.
  • O polinómio é divisível por (x-2), ou seja, x=2 é raiz de P(x).

Passo 2

Teoria usada (explicação didática): se um polinómio P(x) é divisível por (x-a), então a é raiz de P, isto é, P(a)=0. Essa é uma consequência do chamado Teorema do Resto / Teorema das Raízes: ao dividir P(x) por (x-a) o resto é exatamente P(a). Portanto, para encontrar d basta avaliar P(2) e impor P(2)=0.

Passo 3

Avaliar P(2). Substituir x=2 em P(x):
P(2)=2^{3}-2\cdot 2^{2}-5\cdot 2 + d = 8 - 8 - 10 + d = -10 + d.
Como x=2 é raiz, devemos ter P(2)=0. Logo:
-10 + d = 0.

Passo 4

Resolver a equação obtida para d. Da igualdade -10+d=0 segue imediatamente
d=10.
Portanto o polinómio fica, substituindo d,
P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+10.

Passo 5

Agora vamos fatorar P(x). Já sabemos que x=2 é raiz, então (x-2) é fator. Para obter o fator quadrático restante podemos dividir P(x) por (x-2). Vou fazer isso de forma rápida usando divisão sintética (método prático): escrever os coeficientes (1,\,-2,\,-5,\,10) e usar 2 como valor para a síntese.
Passos da divisão sintética:
  • Trazer o 1 (coeficiente do x^3) para baixo → primeiro coeficiente do quociente é 1.
  • Multiplicar 1 por 2 e somar ao próximo coeficiente: 1\cdot 2 = 2; -2 + 2 = 0.
  • Multiplicar 0 por 2: 0; somar ao próximo coeficiente: -5 + 0 = -5.
  • Multiplicar -5 por 2: -10; somar ao último coeficiente: 10 + (-10) = 0 (resto zero, confirma divisibilidade).
Os coeficientes do quociente são 1,\;0,\;-5, que correspondem ao polinómio x^{2}+0\cdot x -5 = x^{2}-5. Assim:
P(x)=(x-2)(x^{2}-5).

Passo 6

Resolver P(x)=0 é reduzir a resolver (x-2)(x^{2}-5)=0. Isso dá duas equações simples:
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2,
x^{2}-5=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{5}.
Explicação curta: para x^{2}-5=0 isolou-se x^{2} e aplicou-se a raiz quadrada; a raiz quadrada de 5 tem duas soluções na equação polinomial real: +\sqrt{5} e -\sqrt{5}.

Resposta

a) d=10
b) x=2,\;x=\sqrt{5},\;x=-\sqrt{5}

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