3- (1,6 pontos)(Ufrj) O polinômio
, é divisível por
.
a) Determine d
b) Calcule as raízes da equação
a) Determine d
b) Calcule as raízes da equação
Passo 1
O enunciado dá o polinómio
com
e afirma que
é divisível por
. As perguntas são:
a) Determine .
b) Calcule as raízes da equação .
a) Determine
b) Calcule as raízes da equação
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes do polinómio: termo cúbico
, quadrático , linear e termo constante . - O polinómio é divisível por
, ou seja, é raiz de .
Passo 2
Teoria usada (explicação didática): se um polinómio
é divisível por
, então
é raiz de
, isto é,
. Essa é uma consequência do chamado Teorema do Resto / Teorema das Raízes: ao dividir
por
o resto é exatamente
. Portanto, para encontrar
basta avaliar
e impor
.
Passo 3
Avaliar
. Substituir
em
:
Como
é raiz, devemos ter
. Logo:
Passo 4
Resolver a equação obtida para
. Da igualdade
segue imediatamente
Portanto o polinómio fica, substituindo
,
Passo 5
Agora vamos fatorar
. Já sabemos que
é raiz, então
é fator. Para obter o fator quadrático restante podemos dividir
por
. Vou fazer isso de forma rápida usando divisão sintética (método prático): escrever os coeficientes
e usar
como valor para a síntese.
Passos da divisão sintética:
- Trazer o
(coeficiente do ) para baixo → primeiro coeficiente do quociente é . - Multiplicar
por e somar ao próximo coeficiente: ; . - Multiplicar
por : ; somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por : ; somar ao último coeficiente: (resto zero, confirma divisibilidade).
Os coeficientes do quociente são
, que correspondem ao polinómio
. Assim:
Passo 6
Resolver
é reduzir a resolver
. Isso dá duas equações simples:
Explicação curta: para
isolou-se
e aplicou-se a raiz quadrada; a raiz quadrada de
tem duas soluções na equação polinomial real:
e
.
Resposta
a)
b)
b)