2- (0,4 pontos) (FGV) Um polinômio com coeficientes reais apresenta as seguintes
características:
Uma raiz é 2+3 i, em que i é a unidade imaginária.
O número 1 / 2 é raiz de multiplicidade 2 .
i é uma raiz, em que i é a unidade imaginária.
Podemos concluir que o menor grau que o polinômio pode ter é
a) 4
b) 3
c) 7
d) 6
e) 5
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações que vou listar claramente:
Uma raiz é \,2+3i\, (onde i é a unidade imaginária).
A raiz \,\tfrac{1}{2}\, ocorre com multiplicidade 2.
Uma raiz é -i.
A pergunta é: qual é o menor grau que um polinômio com coeficientes reais e com essas características pode ter?
Passo 2
Fato importante (teorema que vamos usar): se um polinômio tem coeficientes reais e \,z\in\mathbb{C}\, é uma raiz, então o conjugado \,\overline{z}\, também é raiz. Vou explicar rapidinho por que isso vale: seja p o polinômio com coeficientes reais e suponha p(z)=0. Como os coeficientes são reais, \overline{p(z)}=p(\overline{z}). Portanto \,p(\overline{z})=\overline{p(z)}=\overline{0}=0, logo \overline{z} é raiz.
Passo 3
Aplicando isso à raiz \,2+3i\,: o conjugado é \,\overline{2+3i}=2-3i. Portanto \,2-3i\, também é raiz do polinômio. Aqui contamos duas raízes distintas (cada uma, por enquanto, com multiplicidade pelo menos 1).
Passo 4
Aplicando o mesmo raciocínio à raiz -i: o conjugado de -i é i. Logo i também é raiz. Assim das raízes complexas não-reais temos o par \,-i e i, e o par 2+3i e 2-3i.
Passo 5
Entendendo multiplicidade: quando o enunciado diz que \,\tfrac{1}{2}\, é raiz de multiplicidade 2, isso significa que o fator \left(x-\tfrac{1}{2}\right) aparece duas vezes no polinômio. Em termos de contagem para o grau, essa raiz contribui com 2 ao grau total.
Passo 6
Agora listo todas as raízes (com suas multiplicidades mínimas) que já temos a partir das informações:
\,2+3i\, — multiplicidade mínima 1.
\,2-3i\, — multiplicidade mínima 1 (consequência do coeficiente real).
-i — multiplicidade mínima 1.
i — multiplicidade mínima 1 (consequência do coeficiente real).
\,\tfrac{1}{2}\, — multiplicidade 2 (dado).
Verificação de coincidências: nenhuma dessas é igual a outra (os pares complexos são distintos entre si e distintos de \tfrac{1}{2} que é real), então não estamos duplicando raízes já contadas.
Passo 7
O menor grau possível do polinômio é a soma das multiplicidades mínimas dessas raízes: