1- ( 1,5 pontos) (Upe 2011) Analise as afirmações abaixo e conclua
Um polinômio de grau impar e coeficientes reais possui, necessariamente, pelo menos, uma raiz real.
Se todos os coeficientes de um polinômio são reais, suas raízes serão, necessariamente, reais.
( ) Se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é, necessariamente, um número par.
Se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é, necessariamente, um número impar.
Se um polinômio possui raízes complexas não reais, e todos seus coeficientes são números inteiros, então os conjugados complexos de cada raiz, também, são raízes do mesmo polinômio.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise cinco afirmações sobre polinômios e conclua para cada uma se é verdadeira ou falsa. Vou listar explicitamente as afirmações (sem resolvê-las ainda), numerando-as para ficar claro:
  1. Um polinômio de grau ímpar e coeficientes reais possui, necessariamente, pelo menos, uma raiz real.
  2. Se todos os coeficientes de um polinômio são reais, suas raízes serão, necessariamente, reais.
  3. Se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é, necessariamente, um número par.
  4. Se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é, necessariamente, um número ímpar.
  5. Se um polinômio possui raízes complexas não reais, e todos seus coeficientes são números inteiros, então os conjugados complexos de cada raiz também são raízes do mesmo polinômio.
O objetivo é decidir a veracidade de cada uma e justificar com argumentos e exemplos quando necessário.

Passo 2

Analisando a afirmação 1. Vou explicar o raciocínio passo a passo e a teoria envolvida.
  • Seja p(x)\) um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais. Escrevemos o termo de maior grau como \(a_n x^n\) com \(n\) ímpar e \(a_n\in\mathbb{R}\), \(a_n\neq0\). - Propriedade importante: para polinômios, o comportamento quando \(x\to\infty\) ou \(x\to-\infty\) é dominado pelo termo \(a_n x^n\). Como \(n\) é ímpar, \(x^n\) tem sinais opostos para \(x\to\infty\) e \(x\to-\infty\). Concretamente: \[\lim_{x\to\infty} p(x)= \begin{cases} +\infty &\text{se } a_n>0,\\[4pt] -\infty &\text{se } a_n<0, \end{cases} \qquad \lim_{x\to-\infty} p(x)= \begin{cases} -\infty &\text{se } a_n>0,\\[4pt] +\infty &\text{se } a_n<0. \end{cases}Ou seja, os limites nos extremos têm sinais opostos.
  • Teorema do valor intermediário (TVI): se uma função f\] é contínua num intervalo e assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe um ponto nesse intervalo onde \(f é zero. Polinômios são funções contínuas em \mathbb{R}.
  • Como p(x) tende a sinais opostos em \pm\infty, existem X_1 grande negativo e X_2 grande positivo tais que p(X_1)\cdot p(X_2)<0. Pelo TVI existe c\in(X_1,X_2) tal que p\text{(c)}=0.
  • Portanto a afirmação 1 é verdadeira: qualquer polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real.
Exemplo concreto (para fixar): p(x)=x^3- x. Tem grau 3 (ímpar) e p(-2)=-6<0, p(2)=6>0; pelo TVI tem raiz real. De fato p(x)=x(x-1)(x+1) e as raízes reais são -1,0,1.]

Passo 3

Analisando a afirmação 2. Vou explicar por que ela é falsa com um contraexemplo simples e a ideia por trás.
  • Afirmação 2 diz que se todos os coeficientes são reais então todas as raízes são reais. Isso implicaria que não existem raízes complexas não reais quando coeficientes reais — mas isso não é verdade.
  • Contraexemplo simples: considere o polinômio quadrático p(x)=x^{2}+1.Os coeficientes 1,0,1 são reais. As raízes são dadas pela fórmula quadrática: x=\frac{0\pm\sqrt{0^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2}=\pm\frac{\sqrt{-4}}{2}=\pm i.Essas raízes são \pm i, números complexos não reais. Logo ter coeficientes reais não garante raízes reais.
  • Observação didática: para quadráticas ax^{2}+bx+c com a,b,c\in\mathbb{R}, a natureza das raízes depende do discriminante D=b^{2}-4ac: se D<0 as raízes são complexas não reais. Então coeficientes reais permitem raízes não reais.
Conclusão: afirmação 2 é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação 3. Vou mostrar que é falsa e dar exemplos que explicam por que a paridade do grau não é imposta pelas raízes não reais.
  • Afirmação 3 afirma: se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é necessariamente par. Isso significaria que polinômios com raízes complexas não reais só poderiam ter grau par — o que é falso.
  • Contraexemplo: considere o polinômio cúbico p(x)=x^{3}-1.Esse polinômio tem grau 3 (ímpar). Podemos fatorá-lo assim: x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).O fator quadrático x^{2}+x+1 tem discriminante 1-4= -3<0, portanto suas duas raízes são complexas não reais e são conjugadas entre si. Assim p(x) tem duas raízes complexas não reais mesmo sendo de grau ímpar. Logo a afirmação 3 é falsa.
  • Complemento intuitivo: raízes não reais aparecem em pares conjugadas quando os coeficientes são reais; um polinômio de grau ímpar pode ter uma raiz real a mais além de vários pares conjugados, então pode perfeitamente ter raízes não reais.
Conclusão: afirmação 3 é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 4. Vou mostrar também que é falsa.
  • Afirmação 4 afirma: se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é necessariamente ímpar. Isso é o oposto do item anterior e igualmente falso.
  • Contraexemplo simples: o polinômio quadrático p(x)=x^{2}+1 tem grau 2 (par) e raízes \pm i, que são complexas não reais. Portanto existe polinômio de grau par com raízes complexas não reais. Logo a afirmação 4 é falsa.
  • Assim, a presença de raízes complexas não reais não obriga o grau a ser ímpar nem par — a paridade do grau não é determinada por isso.
Conclusão: afirmação 4 é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmação 5. Vou provar que é verdadeira (e explicar a ideia por trás de forma didática).
  • Afirmação 5 diz: se um polinômio possui raízes complexas não reais e todos seus coeficientes são números inteiros, então os conjugados complexos de cada raiz também são raízes do mesmo polinômio.
  • Essa propriedade é válida não só para coeficientes inteiros, mas para qualquer polinômio com coeficientes reais. Inteiros são um caso particular de reais, então a afirmação é verdadeira.
  • Prova formal e curta (muito usada em provas):
    • Seja p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0},com a_{k}\in\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}.
    • Seja z\in\mathbb{C} tal que p(z)=0. Tome o conjugado complexo dessa igualdade. Lembre que \overline{a_{k}}=a_{k} porque os coeficientes são reais (no caso inteiro também).
    • Conjugando, \overline{p(z)}=\overline{a_{n}z^{n}+\cdots+a_{0}} =a_{n}\overline{z}^{\,n}+\cdots+a_{0}=p(\overline{z}).
    • Como p(z)=0, tem-se \overline{p(z)}=0, logo p(\overline{z})=0. Portanto \overline{z} é raiz de p.
  • Interpretação simples: coeficientes reais não “quebram” a simetria por conjugação — por isso raízes não reais aparecem em pares conjugadas.
  • Exemplo: p(x)=x^{2}+x+1 tem coeficientes inteiros. Suas raízes são complexas \dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}, que são conjugadas uma da outra.
Conclusão: afirmação 5 é verdadeira.

Passo 7

Resumo final das cinco afirmações com justificativa curta:
  • (1) Verdadeira: polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real (comportamento em \pm\infty + TVI).
  • (2) Falsa: coeficientes reais não impedem raízes não reais (ex.: x^{2}+1).
  • (3) Falsa: grau não precisa ser par para existir raiz complexa não real (ex.: x^{3}-1).
  • (4) Falsa: grau não precisa ser ímpar para existir raiz complexa não real (ex.: x^{2}+1).
  • (5) Verdadeira: se os coeficientes são inteiros (ou apenas reais), raízes complexas aparecem em pares conjugadas; se z é raiz então \overline{z} também é.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Falsa
  3. Falsa
  4. Falsa
  5. Verdadeira

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