(2 pontos) Usando o teste da comparação, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n+1n raizn

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty n+1nraizn usando o teste de comparação. O conteúdo envolve séries numéricas e, em particular, séries do tipo p-série, então vamos usar uma p-série conhecida para comparar.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral an de forma mais clara. Temos
an = n+1nraizn = nn^3/2 + 1n^3/2 = 1n^1/2 + 1n^3/2

Passo 3

Para aplicar o teste de comparação, note que para todo n>=1
n+1n = 1 + 1n >= 1
Logo,
an = n+1nraizn = l(n+1nr)1n^1/2 >= 1n^1/2

Passo 4

Sabemos que a p-série sumn=1^infty 1n^1/2 diverge, pois o expoente p=1/2 é menor que 1. Pelo teste de comparação direta, se an >= bn a partir de algum índice e sum bn diverge, então sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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