Resolva o problema de valor inicial dado.
(\left(x^{2}+2 y^{2}\right) \frac{d x}{d y}=x y, \quad y(-1)=1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(x^2+2y^2)dxdy=x,y, x(-1)=1
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, do tipo homogênea em x e y. Vamos usar a substituição v=x/y para reduzir a ordem.

Passo 2

Fazendo x=v,y temos
dxdy=v + ydvdy
Substituindo em (x^2+2y^2)dxdy=xy
l(v^2y^2+2y^2r)l(v + y,tfracdvdyr)=v,ycdot y
Dividindo por y^2 resulta
(v^2+2)l(v + ytfracdvdyr)=v

Passo 3

Expandindo e isolando o termo com dv/dy:
(v^2+2),v + (v^2+2),ydvdy = v Longrightarrow (v^2+2),ydvdy = v - v(v^2+2) = -v,(v^2+1)

Passo 4

Agora separamos variáveis:
v^2+2v,(v^2+1),dv = -dyy
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, fazemos frações parciais:
v^2+2v,(v^2+1) =2v-vv^2+1,
logo
integrall(2v-vv^2+1r)dv =2ln|v|-tfrac12ln(v^2+1)+C
No lado direito
integral -dyy=-ln|y|+C'.
Igualando e reagru­pando constantes, obtemos
2ln|v|-tfrac12ln(v^2+1)=-ln|y|+K

Passo 5

Exponenciando e rearranjando dá uma relação implícita em v e y:
v^4v^2+1=C1y^2
Como v=x/y, isto se transforma em
x^4x^2+y^2=C1

Passo 6

Usamos a condição inicial x(-1)=1. Substituindo y=-1, x=1 na fórmula anterior:
1^41^2+(-1)^2=C1 Longrightarrow C1=12
Logo a solução implícita é
x^4x^2+y^2=12

Passo 7

Para obter x em função de y, ponha u=x^2. A equação fica
u^2u+y^2=12 Longrightarrow 2u^2-u-y^2=0
Resolvendo em u:
u=1pmraiz1+8y^24
Como em y=-1 temos x=1>0, escolhemos o sinal “ +”. Assim
x^2=1+raiz1+8y^24,
e como x>0
x(y)=raiz1+raiz1+8y^22

Resposta

boxedx(y)=raiz1+raiz1+8y^22,
satisfazendo x(-1)=1.

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