Resolva o problema de valor inicial dado.
(\left(x^{2}+2 y^{2}\right) \frac{d x}{d y}=x y, \quad y(-1)=1)
(\left(x^{2}+2 y^{2}\right) \frac{d x}{d y}=x y, \quad y(-1)=1)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, do tipo homogênea em
e
. Vamos usar a substituição
para reduzir a ordem.
Passo 2
Fazendo
temos
Substituindo em
dá
Dividindo por
resulta
Passo 3
Expandindo e isolando o termo com
:
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, fazemos frações parciais:
logo
No lado direito
.
Igualando e reagrupando constantes, obtemos
Igualando e reagrupando constantes, obtemos
Passo 5
Exponenciando e rearranjando dá uma relação implícita em
e
:
Como
, isto se transforma em
Passo 6
Usamos a condição inicial
. Substituindo
,
na fórmula anterior:
Logo a solução implícita é
Passo 7
Para obter
em função de
, ponha
. A equação fica
Resolvendo em
:
Como em
temos
, escolhemos o sinal “
”. Assim
e como
Resposta
satisfazendo
.