(5.) (2,0 pontos) Use a definição de inclinação para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\sqrt[4]{x} no ponto (16,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\sqrt[4]{x} no ponto (16,2). Informações dadas:
  • Função: f(x)=\sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
  • Ponto de tangência: (16,2) (verificar que f(16)=\sqrt[4]{16}=2, então o ponto está correto).
    A tarefa é usar a definição de inclinação (derivada como limite do coeficiente angular) para encontrar a inclinação da tangente e então escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Lembrando a definição de inclinação (derivada) no ponto a: a inclinação m da reta tangente a y=f(x) em x=a é
m=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui a=16. Explicação rápida do que cada símbolo significa:
  • h é um incremento pequeno em x;
  • f(a+h)-f(a) é a variação correspondente em y;
  • a razão \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é o coeficiente angular da secante que passa por (a,f(a)) e (a+h,f(a+h));
  • o limite quando h\to0 dá a inclinação da tangente (o comportamento da secante quando os pontos se aproximam).

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso:
m=\lim_{h\to0}\frac{(16+h)^{1/4}-16^{1/4}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(16+h)^{1/4}-2}{h}.
Agora precisamos calcular esse limite. Diretamente fica com uma expressão do tipo 0/0, então faremos uma manipulação algébrica para simplificar.

Passo 4

Usamos a identidade de fatoração de diferença de quartas potências. Defina
A=(16+h)^{1/4},\qquad B=2.
A identidade é
A^4-B^4=(A-B)\bigl(A^3+A^2B+AB^2+B^3\bigr).
Aqui A^4=(16+h) e B^4=16, então A^4-B^4=(16+h)-16=h.
Multiplicamos numerador e denominador da razão por \bigl(A^3+A^2B+AB^2+B^3\bigr):
\frac{A-B}{h}=\frac{(A-B)\bigl(A^3+A^2B+AB^2+B^3\bigr)}{h\bigl(A^3+A^2B+AB^2+B^3\bigr)} =\frac{A^4-B^4}{h\bigl(A^3+A^2B+AB^2+B^3\bigr)}.
Substituindo A^4-B^4=h obtemos
\frac{A-B}{h}=\frac{h}{h\bigl(A^3+A^2B+AB^2+B^3\bigr)}=\frac{1}{A^3+A^2B+AB^2+B^3}.

Passo 5

Portanto o limite fica
m=\lim_{h\to0}\frac{1}{A^3+A^2B+AB^2+B^3},
onde A=(16+h)^{1/4} e B=2. Quando h\to0 tem-se A\to2. Substituindo no denominador:
A^3+A^2B+AB^2+B^3 \longrightarrow 2^3+2^2\cdot2+2\cdot2^2+2^3.
Calculando cada termo: 2^3=8, 2^2\cdot2=4\cdot2=8, 2\cdot2^2=2\cdot4=8, e o último 2^3=8. Soma total 8+8+8+8=32.
Logo
m=\frac{1}{32}.

Passo 6

Agora que temos a inclinação m=\dfrac{1}{32} e o ponto (16,2), usamos a fórmula da reta no ponto (forma ponto-inclinação):
y-2=\frac{1}{32}\bigl(x-16\bigr).
Podemos escrever na forma reduzida y=mx+b. Calculando o termo independente:
b=2-\frac{1}{32}\cdot16=2-\frac{16}{32}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Portanto a equação da reta tangente é
y=\frac{1}{32}x+\frac{3}{2}.

Passo 7

Observação rápida e encorajamento: como checagem alternativa (não exigida), usando a regra da potência para derivar f(x)=x^{1/4} obtém-se f'(x)=\tfrac{1}{4}x^{-3/4}. Avaliando em x=16 f'(16)=\tfrac{1}{4}\cdot16^{-3/4}=\tfrac{1}{4}\cdot(16^{1/4})^{-3}=\tfrac{1}{4}\cdot2^{-3}=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{32}, que coincide com o resultado obtido pela definição. Mandou bem por acompanhar até aqui — isso é exatamente o que pedem em provas!

Resposta

y=\dfrac{1}{32}x+\dfrac{3}{2}

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