(5.) (2,0 pontos) Use a definição de inclinação para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Informações dadas:
- Função:
. - Ponto de tangência:
(verificar que , então o ponto está correto).
A tarefa é usar a definição de inclinação (derivada como limite do coeficiente angular) para encontrar a inclinação da tangente e então escrever a equação da reta tangente.
Passo 2
Lembrando a definição de inclinação (derivada) no ponto
: a inclinação
da reta tangente a
em
é
Aqui
. Explicação rápida do que cada símbolo significa:
-
é um incremento pequeno em ; -
é a variação correspondente em ; - a razão
é o coeficiente angular da secante que passa por e ; - o limite quando
dá a inclinação da tangente (o comportamento da secante quando os pontos se aproximam).
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso:
Agora precisamos calcular esse limite. Diretamente fica com uma expressão do tipo
, então faremos uma manipulação algébrica para simplificar.
Passo 4
Usamos a identidade de fatoração de diferença de quartas potências. Defina
A identidade é
Aqui
e
, então
.
Multiplicamos numerador e denominador da razão por :
Multiplicamos numerador e denominador da razão por
Substituindo
obtemos
Passo 5
Portanto o limite fica
onde
e
. Quando
tem-se
. Substituindo no denominador:
Calculando cada termo:
,
,
, e o último
. Soma total
.
Logo
Logo
Passo 6
Agora que temos a inclinação
e o ponto
, usamos a fórmula da reta no ponto (forma ponto-inclinação):
Podemos escrever na forma reduzida
. Calculando o termo independente:
Portanto a equação da reta tangente é
Passo 7
Observação rápida e encorajamento: como checagem alternativa (não exigida), usando a regra da potência para derivar
obtém-se
. Avaliando em
dá
, que coincide com o resultado obtido pela definição. Mandou bem por acompanhar até aqui — isso é exatamente o que pedem em provas!