Exercício 3 Considere a tabela de valores abaixo.
0
1
2
3
2
1
4
11
(a) Determine o polinômio interpolante de Lagrange de grau 3.
(b) Estime o valor de
em
.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
2 | 1 | 4 | 11 |
(b) Estime o valor de
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com quatro pontos e pede duas coisas:
- Dados (peguei os pontos da tabela):
, , , . - Pedidos:
- (a) Determinar o polinômio interpolante de Lagrange de grau 3 que passa por esses quatro pontos.
- (b) Estimar o valor de
em usando esse polinômio.
Passo 2
O que é o polinômio de Lagrange e como usaremos: \n
- O polinômio interpolante de grau até
que passa pelos pontos , , é dado por
onde cada
é o polinômio base de Lagrange associado ao nó
. \n
- A definição de
é
Aqui,
vale
em
e
em
para
. Assim
. Vou aplicar essa fórmula aos nossos quatro pontos.
Passo 3
Calcular cada
usando os
fornecidos. Vou escrever explicitamente os denominadores e numeradores.
- Para
(com ):
Calculo o denominador:
. Produto
. Logo
- Para
(com ):
Denominador
. Assim
- Para
(com ):
Denominador
. Portanto
- Para
(com ):
Passo 4
Construir
. Substituindo
:
Substituo as expressões encontradas:
Simplifico os coeficientes onde possível (por exemplo
e
):
Passo 5
Agora vamos expandir cada termo (mostro passo a passo para você conseguir fazer na prova sem pular etapas).
- Primeiro, expando
. Faço . Multiplico por :
Multiplicando por
:
- Segundo, expando
. Faço . Multiplico por :
Multiplico por
:
- Terceiro, expando
. Faço . Multiplico por :
Multiplico por
:
- Quarto, expando
. Faço . Multiplico por :
Multiplico por
:
Passo 6
Somar todos os termos expandidos (coeficientes para
e constante):
- Coeficiente de
:
(A soma dá zero: o termo cúbico some.)
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Portanto, após somar e simplificar, o polinômio reduz-se a um polinômio quadrático:
Observação pedagógica: apesar de termos começado com fórmula para grau
, os pontos fornecidos estavam exatamente em uma parábola, por isso o termo cúbico cancelou e o interpolador efetivo é de grau
.
Passo 7
Estimativa em
. Substituo
em
. Faço as contas passos a passo:
Somando: