Exercício 3 Considere a tabela de valores abaixo.
x 0 1 2 3
y 2 1 4 11
(a) Determine o polinômio interpolante de Lagrange de grau 3.
(b) Estime o valor de y em x=1,5.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com quatro pontos e pede duas coisas:
  • Dados (peguei os pontos da tabela): (x_0,y_0)=(0,2), (x_1,y_1)=(1,1), (x_2,y_2)=(2,4), (x_3,y_3)=(3,11).
  • Pedidos:
    1. (a) Determinar o polinômio interpolante de Lagrange de grau 3 que passa por esses quatro pontos.
    2. (b) Estimar o valor de y em x=1,5 usando esse polinômio.

Passo 2

O que é o polinômio de Lagrange e como usaremos: \n
  • O polinômio interpolante de grau até 3 que passa pelos pontos (x_i,y_i), i=0,\dots,3, é dado por
p(x)=\sum_{i=0}^{3} y_i\,L_i(x),
onde cada L_i(x) é o polinômio base de Lagrange associado ao nó x_i. \n
  • A definição de L_i(x) é
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui, L_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i. Assim p(x_i)=y_i. Vou aplicar essa fórmula aos nossos quatro pontos.

Passo 3

Calcular cada L_i(x) usando os x_j fornecidos. Vou escrever explicitamente os denominadores e numeradores.
  • Para i=0 (com x_0=0):
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} =\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}.
Calculo o denominador: (0-1)=-1,\;(0-2)=-2,\;(0-3)=-3. Produto =(-1)(-2)(-3)=-6. Logo
L_0(x)=-\frac{1}{6}(x-1)(x-2)(x-3).
  • Para i=1 (com x_1=1):
L_1(x)=\frac{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)} =\frac{x(x-2)(x-3)}{(1)(-1)(-2)}.
Denominador =(1)(-1)(-2)=2. Assim
L_1(x)=\frac{1}{2}x(x-2)(x-3).
  • Para i=2 (com x_2=2):
L_2(x)=\frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)} =\frac{x(x-1)(x-3)}{(2)(1)(-1)}.
Denominador = -2. Portanto
L_2(x)=-\frac{1}{2}x(x-1)(x-3).
  • Para i=3 (com x_3=3):
L_3(x)=\frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)} =\frac{x(x-1)(x-2)}{(3)(2)(1)}=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2).

Passo 4

Construir p(x)=\sum y_i L_i(x). Substituindo y_0=2,\\ y_1=1,\\ y_2=4,\\ y_3=11:
p(x)=2L_0(x)+1\cdot L_1(x)+4L_2(x)+11L_3(x).
Substituo as expressões encontradas:
p(x)=-\frac{2}{6}(x-1)(x-2)(x-3)+\frac{1}{2}x(x-2)(x-3)-2x(x-1)(x-3)+\frac{11}{6}x(x-1)(x-2).
Simplifico os coeficientes onde possível (por exemplo -\frac{2}{6}=-\frac{1}{3} e 4\cdot(-\tfrac{1}{2})=-2):
p(x)=-\frac{1}{3}(x-1)(x-2)(x-3)+\frac{1}{2}x(x-2)(x-3)-2x(x-1)(x-3)+\frac{11}{6}x(x-1)(x-2).

Passo 5

Agora vamos expandir cada termo (mostro passo a passo para você conseguir fazer na prova sem pular etapas).
  • Primeiro, expando (x-1)(x-2)(x-3). Faço (x-1)(x-2)=x^2-3x+2. Multiplico por (x-3):
(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6.
Multiplicando por -\tfrac{1}{3}:
-\tfrac{1}{3}(x-1)(x-2)(x-3)=-\tfrac{1}{3}x^3+2x^2-\tfrac{11}{3}x+2.
  • Segundo, expando x(x-2)(x-3). Faço (x-2)(x-3)=x^2-5x+6. Multiplico por x:
x(x-2)(x-3)=x^3-5x^2+6x.
Multiplico por \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}x(x-2)(x-3)=\tfrac{1}{2}x^3-\tfrac{5}{2}x^2+3x.
  • Terceiro, expando x(x-1)(x-3). Faço (x-1)(x-3)=x^2-4x+3. Multiplico por x:
x(x-1)(x-3)=x^3-4x^2+3x.
Multiplico por -2:
-2x(x-1)(x-3)=-2x^3+8x^2-6x.
  • Quarto, expando x(x-1)(x-2). Faço (x-1)(x-2)=x^2-3x+2. Multiplico por x:
x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x.
Multiplico por \tfrac{11}{6}:
\tfrac{11}{6}x(x-1)(x-2)=\tfrac{11}{6}x^3-\tfrac{11}{2}x^2+\tfrac{11}{3}x.

Passo 6

Somar todos os termos expandidos (coeficientes para x^3,x^2,x e constante):
  • Coeficiente de x^3:
-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}-2+\tfrac{11}{6}=0.
(A soma dá zero: o termo cúbico some.)
  • Coeficiente de x^2:
2-\tfrac{5}{2}+8-\tfrac{11}{2}=2.
  • Coeficiente de x:
-\tfrac{11}{3}+3-6+\tfrac{11}{3}=-3.
  • Termo constante:
2 \quad(\text{apenas do primeiro termo}).
Portanto, após somar e simplificar, o polinômio reduz-se a um polinômio quadrático:
p(x)=2x^2-3x+2.
Observação pedagógica: apesar de termos começado com fórmula para grau 3, os pontos fornecidos estavam exatamente em uma parábola, por isso o termo cúbico cancelou e o interpolador efetivo é de grau 2.

Passo 7

Estimativa em x=1,5. Substituo x=1{,}5 em p(x)=2x^2-3x+2. Faço as contas passos a passo:
x^2=(1{,}5)^2=2{,}25,
2x^2=2\cdot 2{,}25=4{,}5,
-3x=-3\cdot 1{,}5=-4{,}5.
Somando:
p(1{,}5)=4{,}5-4{,}5+2=2.

Resposta

p(x)=2x^{2}-3x+2
p(1{,}5)=2

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