(2 pontos) Use a técnica de “completar quadrados” para obter a forma canônica da superfície esférica x^2-2 x+y^2+z^2-3=0. Em seguida, determine o centro e o raio da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a técnica de “completar quadrados” para colocar a equação da esfera x^2 - 2x + y^2 + z^2 - 3 = 0 na forma canônica. A partir daí, vamos identificar o centro e o raio da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes. Vamos deixar os termos com x, y e z juntos:
x^2 - 2x + y^2 + z^2 = 3

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo que envolve x. Completar o quadrado significa transformar uma expressão quadrática em um quadrado perfeito. Para x^2 - 2x, a gente faz o seguinte:
  1. Pegamos o coeficiente de x, que é -2, dividimos por 2, ficando -1.
  2. Elevamos -1 ao quadrado, resultando em 1.
  3. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
x^2 - 2x + 1 - 1 + y^2 + z^2 = 3

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão com o quadrado completo:
(x - 1)^2 - 1 + y^2 + z^2 = 3
Em seguida, somamos os termos constantes:
(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4

Passo 5

Pronto! A equação está na forma canônica da esfera:
(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4

Resposta

O centro da esfera é (1, 0, 0) e o raio é 2 .

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