(2 pontos) Use a técnica de “completar quadrados” para obter a forma canônica da superfície esférica
. Em seguida, determine o centro e o raio da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a técnica de “completar quadrados” para colocar a equação da esfera
na forma canônica. A partir daí, vamos identificar o centro e o raio da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes. Vamos deixar os termos com
,
e
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo que envolve
. Completar o quadrado significa transformar uma expressão quadrática em um quadrado perfeito. Para
, a gente faz o seguinte:
- Pegamos o coeficiente de
, que é , dividimos por 2, ficando . - Elevamos
ao quadrado, resultando em . - Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a expressão com o quadrado completo:
Em seguida, somamos os termos constantes:
Passo 5
Pronto! A equação está na forma canônica da esfera:
Resposta
O centro da esfera é
e o raio é
.