Ligue as equações da coluna do lado esquerdo a sua superfície quádrica correspondente no lado direito
r x^28+y^24+z^216=1 x^24+y^29-z^216=1 y=x^21 / 4+z^2 z=y^2-x^2
Parabolóide elíptico
Parabolóide hiperbólico
Hiperbolóide de uma folha

Passo 1

O enunciado nos dá quatro equações de superfícies quádricas e pede para relacioná-las com os respectivos tipos geométricos. O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quádricas segundo o sinal dos termos quadráticos e se há termos lineares puros. Para cada equação, vamos
  • Identificar quantos termos quadráticos positivos e negativos ela tem;
  • Verificar se há um termo linear isolado (o que indica paraboloide);
  • Concluir o tipo de superfície (elipsoide, hiperbolóide de uma folha, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico).

Passo 2

Considere
x^28+y^24+z^216=1
Todos os coeficientes dos termos quadráticos são positivos. Não há termo linear isolado. Isso caracteriza um elipsoide, pois é a forma geral
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1

Passo 3

Considere
x^24+y^29-z^216=1
Aqui há dois quadráticos positivos e um negativo (o de z). A seção transversal em z=0 é elíptica, logo temos um hiperbolóide de uma folha, que em geral é
x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1

Passo 4

Considere
y=x^21/4+z^2
Reescrevendo, y=4x^2+z^2. Há dois termos quadráticos positivos e um termo linear em y. Isso é a forma típica de um parabolóide elíptico, pois curvas de nível em y=const são elipses.

Passo 5

Considere
z=y^2-x^2
Aqui aparece um quadrático positivo ( y^2), um negativo ( -x^2) e um termo linear em z. Essa é a forma canônica de um parabolóide hiperbólico, pois as curvas de nível em z=const são hipérboles.

Resposta

x^28+y^24+z^216=1 to Elipsoide
x^24+y^29-z^216=1 to Hiperbolóide de uma folha
y=x^21/4+z^2 to Parabolóide elíptico
z=y^2-x^2 to Parabolóide hiperbólico

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