Por que não provamos que o produto interno é associativo, isto é, que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta por que a gente não prova que o produto interno é associativo, ou seja, por que não temos que
. Vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial e entender as propriedades do produto interno para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno. O produto interno entre dois vetores, como
e
, resulta em um número escalar. Então, quando fazemos
, obtemos um número.
Passo 3
Agora, vamos analisar as duas expressões da questão:
-
: Aqui, primeiro calculamos , que é um escalar. Depois, multiplicamos esse escalar pelo vetor , o que resulta em um novo vetor. -
: Aqui, tentamos primeiro calcular , que é um escalar. Em seguida, tentamos fazer o produto interno entre e esse escalar.
Passo 4
Mas tem um problema! O produto interno é definido entre dois vetores, não entre um vetor e um escalar. Então,
não faz sentido matematicamente, porque você estaria tentando multiplicar um vetor por um escalar dentro do produto interno, o que não é uma operação válida.
Passo 5
Além disso, o lado esquerdo
resulta em um vetor, enquanto o lado direito
não é definido. Portanto, a expressão não é bem definida para ser associativa.
Resposta
Não provamos que o produto interno é associativo porque a operação
não está bem definida, já que o produto interno entre vetores resulta em um escalar e não podemos realizar um produto interno entre um vetor e um escalar. Portanto, a associatividade não se aplica ao produto interno.