Por que não provamos que o produto interno é associativo, isto é, que a cdot(b cdot c)=(a cdot b) cdot c ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta por que a gente não prova que o produto interno é associativo, ou seja, por que não temos que (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c). Vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial e entender as propriedades do produto interno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno. O produto interno entre dois vetores, como a e b, resulta em um número escalar. Então, quando fazemos a cdot b, obtemos um número.

Passo 3

Agora, vamos analisar as duas expressões da questão:
  1. (a cdot b) cdot c: Aqui, primeiro calculamos a cdot b, que é um escalar. Depois, multiplicamos esse escalar pelo vetor c, o que resulta em um novo vetor.
  2. a cdot (b cdot c): Aqui, tentamos primeiro calcular b cdot c, que é um escalar. Em seguida, tentamos fazer o produto interno entre a e esse escalar.

Passo 4

Mas tem um problema! O produto interno é definido entre dois vetores, não entre um vetor e um escalar. Então, a cdot (b cdot c) não faz sentido matematicamente, porque você estaria tentando multiplicar um vetor por um escalar dentro do produto interno, o que não é uma operação válida.

Passo 5

Além disso, o lado esquerdo (a cdot b) cdot c resulta em um vetor, enquanto o lado direito a cdot (b cdot c) não é definido. Portanto, a expressão não é bem definida para ser associativa.

Resposta

Não provamos que o produto interno é associativo porque a operação a cdot (b cdot c) não está bem definida, já que o produto interno entre vetores resulta em um escalar e não podemos realizar um produto interno entre um vetor e um escalar. Portanto, a associatividade não se aplica ao produto interno.

Exercícios relacionados