(2,5 pontos) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\oint_{\Gamma}\left(z+y+\cos \left(x^{2}\right)\right) d x+\left(\frac{x}{3}-z+\ln \left(1+y^{2}\right)\right) d y+e^{z} d z,
onde \Gamma(t)=\left(\cos (t), \operatorname{sen}(t), \operatorname{sen}^{2}(t)\right), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{\Gamma}\left(z+y+\cos \left(x^{2}\right)\right) d x+\left(\frac{x}{3}-z+\ln \left(1+y^{2}\right)\right) d y+e^{z} d z,
ao longo da curva \Gamma dada por
\Gamma(t)=\left(\cos (t), \sin(t), \sin^{2}(t)\right),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo vetorial cujo trabalho queremos é \mathbf{F}=(P,Q,R) com P=z+y+\cos\left(x^{2}\right),\qquad Q=\frac{x}{3}-z+\ln\left(1+y^{2}\right),\qquad R=e^{z}.
  • A curva \Gamma é fechada (começa e termina no mesmo ponto) com projeção no plano xy sendo o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1.
  • Queremos o valor da integral de linha de \mathbf{F} ao longo de \Gamma.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Stokes. Vou escrever o enunciado do teorema e explicar o que cada símbolo significa:
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS.
Aqui:
  • \partial S é a fronteira (contorno) de uma superfície S.
  • \mathbf{F} é o campo vetorial cujo rotacional \nabla\times\mathbf{F} aparece no integrando.
  • \mathbf{n}\,dS é o vetor normal (com magnitude igual à área infinitesimal) à superfície S.
  • A orientação de \partial S deve ser compatível com a orientação de \mathbf{n} (regra da mão direita).
    A estratégia: escolher uma superfície S tal que \partial S=\Gamma, calcular \nabla\times\mathbf{F}, obter \mathbf{n}\,dS e avaliar a integral dupla sobre S.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Usamos a fórmula
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Agora as derivadas parciais (cada passo explícito):
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}e^{z}=0 porque R depende só de z.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{x}{3}-z+\ln(1+y^{2})\right)=-1.
    Portanto a primeira componente é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-(-1)=1.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(z+y+\cos(x^{2})\right)=1.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}e^{z}=0.
    Portanto a segunda componente é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=1-0=1.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{3}-z+\ln(1+y^{2})\right)=\frac{1}{3}.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(z+y+\cos(x^{2})\right)=1.
    Portanto a terceira componente é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}.
Assim
\nabla\times\mathbf{F}=\left(1,\,1,\,-\frac{2}{3}\right).

Passo 4

Escolher a superfície S com \partial S=\Gamma. Observação: pela parametrização de \Gamma temos \;z=\sin^{2}(t)=(\sin t)^{2}=y^{2} para os pontos da curva. Portanto \Gamma está contida na superfície
S:\\ z=y^{2},
restrita ao disco D no plano xy definido por \;x^{2}+y^{2}\le 1. Vou tomar S como a porção de z=y^{2} sobre esse disco D. Essa escolha é natural e simples para aplicar Stokes.
Precisamos do vetor normal orientado com componente k positiva para que a orientação da fronteira seja a dada por \Gamma(t) (projeção no plano xy é o círculo percorrido no sentido anti-horário). Para uma superfície dada por z=f(x,y) com f(x,y)=y^{2}, um vetor normal com componente k positiva é
\mathbf{n}\,dS =(-f_x,\,-f_y,\,1)\,dA.
Calcular as derivadas:
f_x=0,\qquad f_y=2y.
Logo
\mathbf{n}\,dS=(0,\,-2y,\,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{n}) que aparece na integral dupla:
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=(1,1,-\tfrac{2}{3})\cdot(0,-2y,1)=1\cdot 0+1\cdot(-2y)+\left(-\tfrac{2}{3}\right)\cdot 1=-2y-\tfrac{2}{3}.
Portanto, pela aplicação do Teorema de Stokes,
\oint_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}\left(-2y-\tfrac{2}{3}\right)dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 6

Avaliar a integral dupla sobre o disco D. Separando termos:
\iint_{D}\left(-2y-\tfrac{2}{3}\right)dA=-2\iint_{D}y\,dA-\tfrac{2}{3}\iint_{D}1\,dA.
  • O primeiro termo -2\iint_{D}y\,dA é zero por simetria: o disco é simétrico em relação ao eixo x e a função y é ímpar em y, então sua integral sobre D é 0.
  • O segundo termo é -\tfrac{2}{3} vezes a área do disco D. A área do disco unitário é \pi. Logo
-\tfrac{2}{3}\iint_{D}1\,dA=-\tfrac{2}{3}\cdot \pi = -\tfrac{2\pi}{3}.
Somando, o valor total da integral é -\tfrac{2\pi}{3}.

Resposta

-\tfrac{2\pi}{3}

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