(2,5 pontos) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- O campo vetorial cujo trabalho queremos é
com - A curva
é fechada (começa e termina no mesmo ponto) com projeção no plano sendo o círculo unitário . - Queremos o valor da integral de linha de
ao longo de .
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Stokes. Vou escrever o enunciado do teorema e explicar o que cada símbolo significa:
Aqui:
-
é a fronteira (contorno) de uma superfície . -
é o campo vetorial cujo rotacional aparece no integrando. -
é o vetor normal (com magnitude igual à área infinitesimal) à superfície . - A orientação de
deve ser compatível com a orientação de (regra da mão direita).
A estratégia: escolher uma superfícietal que , calcular , obter e avaliar a integral dupla sobre .
Passo 3
Calcular o rotacional
. Usamos a fórmula
Agora as derivadas parciais (cada passo explícito):
-
porque depende só de . -
Portanto a primeira componente é
-
-
Portanto a segunda componente é
-
-
Portanto a terceira componente é
Assim
Passo 4
Escolher a superfície
com
. Observação: pela parametrização de
temos
para os pontos da curva. Portanto
está contida na superfície
restrita ao disco
no plano
definido por
. Vou tomar
como a porção de
sobre esse disco
. Essa escolha é natural e simples para aplicar Stokes.
Precisamos do vetor normal orientado com componente
positiva para que a orientação da fronteira seja a dada por
(projeção no plano
é o círculo percorrido no sentido anti-horário). Para uma superfície dada por
com
, um vetor normal com componente
positiva é
Calcular as derivadas:
Logo
onde
é o elemento de área no plano
.
Passo 5
Calcular o produto escalar
que aparece na integral dupla:
Portanto, pela aplicação do Teorema de Stokes,
onde
.
Passo 6
Avaliar a integral dupla sobre o disco
. Separando termos:
- O primeiro termo
é zero por simetria: o disco é simétrico em relação ao eixo e a função é ímpar em , então sua integral sobre é . - O segundo termo é
vezes a área do disco . A área do disco unitário é . Logo
Somando, o valor total da integral é
.