(2,5 pontos) Considere o campo vetorial
. Seja
o gráfico da função
percorrida de
a
. Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde o campo vetorial é
e a curva
é o gráfico da função
para
, percorrida de
até
.
Informações relevantes:
- Componentes do campo:
e . - Curva dada por
com parâmetro natural variando de a . - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Primeiro, lembro rapidamente o que é a integral de linha no caso de campo plano: se a curva é dada por
então
Aqui é natural parametrizar pela própria variável
: tomar
,
, com
indo de
a
. Mas antes de partir para uma integral direta, eu tento ver se dá para simplificar escrevendo o integrando como diferencial exato de alguma função mais um resto simples. Essa técnica (identificar uma diferencial exata) poupa trabalho e ajuda a entender a integral.
Passo 3
Vou buscar uma função
tal que
— perceba que a expressão
aparece dentro de
. De fato, calculo:
Logo eu posso decompor o integrando como
Isto é, a integral ao longo de
fica
A primeira integral é simplesmente a variação da função
entre extremos da curva; a segunda precisamos calcular explicitamente usando a parametrização.
Passo 4
Calculo a contribuição da diferencial exata. Como os extremos da curva são
e
, e
em ambos é
, temos
Calculo os cubos:
então a diferença é
e multiplicando por
obtemos
. Assim a primeira parte vale
Passo 5
Agora calculo a segunda parte
Parametrizando por
, temos
e
. Portanto
Defino
então
. Antes de integrar diretamente, observo simetrias que podem simplificar
: a função
é ímpar, e
também é ímpar (porque
é ímpar e
é par, logo
é par e o produto com
é ímpar). Produto de duas funções ímpares é função par, logo o integrando é par. Assim
mas eu calculo
por uma primitiva geral e depois faço avaliação nos limites.
Passo 6
Faço a integral indefinida
Uso integração por partes escolhendo
Então
e preciso achar
. Calculo
separando:
pois
.
Aplicando integração por partes:
Agora calculo as integrais restantes separadamente:
Juntando:
Portanto uma primitiva (antiderivada) para o integrando é
Faço uma simplificação algébrica para ficar mais compacto. Primeiro expandindo e reorganizando:
Agora uso
(porque
), para combinar os termos em
:
Portanto uma forma mais elegante é
Esta
é antiderivada de
.
Passo 7
Agora avalio
.
Calculo valores das funções trigonométricas:
- Para
: , , , . - Para
: , , , .
Assim:
Logo
Passo 8
Retornando a
, lembramos que
. Então
Passo 9
Finalmente a integral total é soma das duas contribuições:
Portanto o resultado final é