(2,5 pontos) Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=6 x^{2} \cos y \vec{i}+\left(5 x y-2 x^{3} \operatorname{sen} y\right) \vec{j}. Seja \gamma o gráfico da função y=1+\cos x,-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2} percorrida de \left(-\frac{\pi}{2}, 1\right) a \left(\frac{\pi}{2}, 1\right). Calcule
\int_{\gamma} \vec{F} d \gamma .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} \vec{F}\,d\gamma
onde o campo vetorial é
\vec{F}(x,y)=6x^{2}\cos y\,\vec{i}+\bigl(5xy-2x^{3}\operatorname{sen} y\bigr)\,\vec{j}
e a curva \gamma é o gráfico da função y=1+\cos x para -\tfrac{\pi}{2}\le x\le \tfrac{\pi}{2}, percorrida de \left(-\tfrac{\pi}{2},1\right) até \left(\tfrac{\pi}{2},1\right).
Informações relevantes:
  • Componentes do campo: P(x,y)=6x^{2}\cos y e Q(x,y)=5xy-2x^{3}\operatorname{sen} y.
  • Curva dada por y=1+\cos x com parâmetro natural x variando de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}.
  • Objetivo: calcular \displaystyle\int_{\gamma} P\,dx+Q\,dy.

Passo 2

Primeiro, lembro rapidamente o que é a integral de linha no caso de campo plano: se a curva é dada por (x(t),y(t)) então
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\gamma=\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy=\int_{t_0}^{t_1}\bigl(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\bigr)\,dt.
Aqui é natural parametrizar pela própria variável x: tomar t=x, y(x)=1+\cos x, com x indo de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}. Mas antes de partir para uma integral direta, eu tento ver se dá para simplificar escrevendo o integrando como diferencial exato de alguma função mais um resto simples. Essa técnica (identificar uma diferencial exata) poupa trabalho e ajuda a entender a integral.

Passo 3

Vou buscar uma função \Phi(x,y) tal que d\Phi=6x^{2}\cos y\,dx-2x^{3}\operatorname{sen} y\,dy — perceba que a expressão 6x^{2}\cos y\,dx-2x^{3}\operatorname{sen} y\,dy aparece dentro de \vec{F}\,d\gamma. De fato, calculo:
d\bigl(2x^{3}\cos y\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{3}\cos y)\,dx+\frac{\partial}{\partial y}(2x^{3}\cos y)\,dy
=6x^{2}\cos y\,dx-2x^{3}\operatorname{sen} y\,dy.
Logo eu posso decompor o integrando como
P\,dx+Q\,dy \;=\; d\bigl(2x^{3}\cos y\bigr) \;+\; 5xy\,dy.
Isto é, a integral ao longo de \gamma fica
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\gamma=\int_{\gamma}d\bigl(2x^{3}\cos y\bigr)+\int_{\gamma}5x y\,dy.
A primeira integral é simplesmente a variação da função 2x^{3}\cos y entre extremos da curva; a segunda precisamos calcular explicitamente usando a parametrização.

Passo 4

Calculo a contribuição da diferencial exata. Como os extremos da curva são \left(-\tfrac{\pi}{2},1\right) e \left(\tfrac{\pi}{2},1\right), e y em ambos é 1, temos
\int_{\gamma}d\bigl(2x^{3}\cos y\bigr)=\bigl[2x^{3}\cos y\bigr]_{x=-\tfrac{\pi}{2}}^{x=\tfrac{\pi}{2}} =2\bigl((\tfrac{\pi}{2})^{3}-(-\tfrac{\pi}{2})^{3}\bigr)\cos 1.
Calculo os cubos:
(\tfrac{\pi}{2})^{3}=\tfrac{\pi^{3}}{8},\qquad (-\tfrac{\pi}{2})^{3}=-\tfrac{\pi^{3}}{8},
então a diferença é \tfrac{\pi^{3}}{4} e multiplicando por 2 obtemos \tfrac{\pi^{3}}{2}. Assim a primeira parte vale
\boxed{\tfrac{\pi^{3}}{2}\cos 1.}

Passo 5

Agora calculo a segunda parte
S=\int_{\gamma}5x y\,dy.
Parametrizando por x, temos y(x)=1+\cos x e dy=-\operatorname{sen} x\,dx. Portanto
S=\int_{x=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}5x\,y(x)\,y'(x)\,dx = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}5x(1+\cos x)(- \operatorname{sen} x)\,dx = -5\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} x(1+\cos x)\operatorname{sen} x\,dx.
Defino
I=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} x(1+\cos x)\operatorname{sen} x\,dx,
então S=-5I. Antes de integrar diretamente, observo simetrias que podem simplificar I: a função x é ímpar, e (1+\cos x)\operatorname{sen} x também é ímpar (porque \operatorname{sen} x é ímpar e \cos x é par, logo 1+\cos x é par e o produto com \operatorname{sen} x é ímpar). Produto de duas funções ímpares é função par, logo o integrando é par. Assim
I=2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x(1+\cos x)\operatorname{sen} x\,dx,
mas eu calculo I por uma primitiva geral e depois faço avaliação nos limites.

Passo 6

Faço a integral indefinida
\int x(1+\cos x)\operatorname{sen} x\,dx.
Uso integração por partes escolhendo
u=x,\qquad dv=(1+\cos x)\operatorname{sen} x\,dx.
Então du=dx e preciso achar v=\int(1+\cos x)\operatorname{sen} x\,dx. Calculo v separando:
\int(1+\cos x)\operatorname{sen} x\,dx=\int\operatorname{sen} x\,dx+\int\cos x\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x + C,
pois \int\cos x\operatorname{sen} x\,dx=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x.
Aplicando integração por partes:
\int x(1+\cos x)\operatorname{sen} x\,dx = x\Bigl(-\cos x+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x\Bigr) - \int \Bigl(-\cos x+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x\Bigr)\,dx.
Agora calculo as integrais restantes separadamente:
\int -\cos x\,dx = -\operatorname{sen} x,
\int \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x\,dx = \tfrac{1}{2}\int \tfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \tfrac{1}{4}\int(1-\cos 2x)\,dx = \tfrac{x}{4}-\tfrac{1}{8}\operatorname{sen} 2x.
Juntando:
\int \Bigl(-\cos x+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x\Bigr)\,dx = -\operatorname{sen} x +\Bigl(\tfrac{x}{4}-\tfrac{1}{8}\operatorname{sen} 2x\Bigr).
Portanto uma primitiva (antiderivada) para o integrando é
A(x) = x\Bigl(-\cos x+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x\Bigr) -\Bigl(-\operatorname{sen} x +\tfrac{x}{4}-\tfrac{1}{8}\operatorname{sen} 2x\Bigr)+C.
Faço uma simplificação algébrica para ficar mais compacto. Primeiro expandindo e reorganizando:
A(x) = -x\cos x + \tfrac{1}{2}x\operatorname{sen}^{2}x + \operatorname{sen} x -\tfrac{x}{4} + \tfrac{1}{8}\operatorname{sen} 2x + C.
Agora uso \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x - \tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{4}\cos 2x (porque \operatorname{sen}^{2}x=(1-\cos 2x)/2), para combinar os termos em x:
\tfrac{1}{2}x\operatorname{sen}^{2}x - \tfrac{x}{4} = -\tfrac{x}{4}\cos 2x.
Portanto uma forma mais elegante é
A(x)= -x\cos x -\tfrac{x}{4}\cos 2x +\operatorname{sen} x +\tfrac{1}{8}\operatorname{sen} 2x + C.
Esta A(x) é antiderivada de x(1+\cos x)\operatorname{sen} x.

Passo 7

Agora avalio I=A(\tfrac{\pi}{2})-A(-\tfrac{\pi}{2}).
Calculo valores das funções trigonométricas:
  • Para x=\tfrac{\pi}{2}: \cos(\tfrac{\pi}{2})=0, \cos(2\cdot\tfrac{\pi}{2})=\cos\pi=-1, \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1, \operatorname{sen}(2\cdot\tfrac{\pi}{2})=\operatorname{sen}\pi=0.
  • Para x=-\tfrac{\pi}{2}: \cos(-\tfrac{\pi}{2})=0, \cos(2\cdot(-\tfrac{\pi}{2}))=\cos(-\pi)=\cos\pi=-1, \operatorname{sen}(-\tfrac{\pi}{2})=-1, \operatorname{sen}(2\cdot(-\tfrac{\pi}{2}))=\operatorname{sen}(-\pi)=0.
Assim:
A\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)= -\tfrac{\pi}{2}\cdot 0 -\tfrac{\tfrac{\pi}{2}}{4}\cdot(-1) + 1 + 0 = 1 + \tfrac{\pi}{8},
A\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\Bigr)= -\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\cdot 0 -\tfrac{-\tfrac{\pi}{2}}{4}\cdot(-1) -1 + 0 = -1 -\tfrac{\pi}{8}.
Logo
I=A\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)-A\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\Bigl(1+\tfrac{\pi}{8}\Bigr)-\Bigl(-1-\tfrac{\pi}{8}\Bigr)=2+\tfrac{\pi}{4}.

Passo 8

Retornando a S, lembramos que S=-5I. Então
S=-5\Bigl(2+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=-10-\tfrac{5\pi}{4}.

Passo 9

Finalmente a integral total é soma das duas contribuições:
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\gamma=\underbrace{\tfrac{\pi^{3}}{2}\cos 1}_{\text{da diferencial exata}} \;+\; \underbrace{\Bigl(-10-\tfrac{5\pi}{4}\Bigr)}_{\text{da parte }5xy\,dy}.
Portanto o resultado final é
\boxed{\tfrac{\pi^{3}}{2}\cos 1 -10 -\tfrac{5\pi}{4}.}

Resposta

\displaystyle \tfrac{\pi^{3}}{2}\cos 1 -10 -\tfrac{5\pi}{4}

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