De acordo com as informações descritas no enunciado, responda as questões abaixo:
a) Determine a temperatura do equipamento quando t=0 e interprete o resultado no contexto do processo.
T(0)=50+30\left(1-e^{\wedge} 0\right)=50+30(1-1)=50 \circ C .
b)Calcule o limite da temperatura \mathrm{T}(\mathrm{t}) quando t \rightarrow \infty e explique o significado físico desse valor para a operação do equipamento.
\begin{aligned} & \lim T(t)=50+30(1-0)=80 \circ C \\\ & t \rightarrow \infty \mid . \end{aligned}
c) Calcule a taxa de variação da temperatura T^{\prime}(t) nos instantes t=0, t=10 e t=40 minutos. Considerando que a temperatura pode ser considerada estabilizada quando a taxa de variação for menor que 0,05^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}, estime o tempo aproximado necessário para que o equipamento atinja essa condição de estabilização térmica. Justifique seu raciocínio.
\mathrm{T}^{\prime}(\mathrm{t})=\mathrm{td} / \mathrm{d}\left[50+30\left(1-\mathrm{e}^{\wedge}-0,05 \mathrm{t}\right)\right]=30 \cdot(0,05) \mathrm{e}^{\wedge}-0,05 \mathrm{t}=\mathbf{1 , 5 e} \wedge \mathbf{- 0 , 0 5 t}(\circ \mathbf{C} / \mathbf{m i n}).
1,5 e^{\wedge}-0,05 t<0,05 \Rightarrow e^{\wedge}-0,05 t<0,05 / 1,5=1 / 30 \approx \mathbf{0 , 0 3 3 3 3 3 3 3}.
-0,05 t<\ln (0,03333333)=-\ln (30) \approx-\mathbf{3 , 4 0 1 1 9 7 3 8 1 6 6}
t>3,40119738166 / 0,05 \approx \mathbf{6 8 , 0 2 3 9 4 7 6 3 3 2 ~ m i n}
d) Calcule a temperatura \mathrm{T}(\mathrm{t}) no tempo estimado para estabilização encontrado na letra c . Compare esse valor com o resultado obtido na letra b e explique o significado dessa comparação para a operação do equipamento.
\mathrm{T}(\mathrm{t} \text { stab })=50+30(1-1 / 30)=50+30 \cdot(29 / 30)=50+29=\mathbf{7 9 , 0} \circ \mathbf{C} .

Passo 1

O enunciado nos dá a função temperatura do equipamento em função do tempo t (em minutos). A expressão, que aparece implicitamente nas suas contas, é:
T(t)=50+30\bigl(1-e^{-0,05t}\bigr).
Listei abaixo o que o problema pede, e quais dados temos:
  • Dado: T(t)=50+30\bigl(1-e^{-0,05t}\bigr).
  • Perguntas:
    a) Determine a temperatura quando t=0 e interprete fisicamente.
    b) Calcule \displaystyle\lim_{t\to\infty}T(t) e interprete fisicamente esse limite.
    c) Calcule a taxa de variação T'(t) e avalie nos instantes t=0, t=10 e t=40 minutos. Usando o critério de estabilização “taxa <0,05\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}”, estime o tempo necessário para estabilizar e justifique.
    d) Calcule T(t) no tempo estimado de estabilização e compare com o valor do item (b); explique o significado prático dessa comparação.

Passo 2

Vamos resolver (a). Substituir t=0 em T(t) é direto. Lembrete rápido sobre exponenciais: \mathrm{e}^{0}=1. Portanto fazemos:
T(0)=50+30\bigl(1-e^{-0,05\cdot 0}\bigr)=50+30(1-e^{0})=50+30(1-1)=50.
Interpretação física (em linguagem simples): T(0)=50^\circ C significa que, no instante inicial considerado ( t=0), o equipamento está a 50^\circ C. Em modelos de aquecimento/resfriamento desse tipo, esse é o valor inicial de temperatura antes do processo (ponto de partida).

Passo 3

Agora o item (b). Precisamos do limite quando t\to\infty. Propriedade usada: \displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{-a t}=0 para a>0. Aplicando ao nosso caso:
\lim_{t\to\infty}T(t)=\lim_{t\to\infty}\bigl[50+30(1-e^{-0,05t})\bigr]=50+30(1-0)=80.
Interpretação física: 80^\circ C é a temperatura de regime permanente (o valor assintótico). Ou seja, após tempo muito grande o equipamento tende a estabilizar em 80^\circ C. Isso é o valor final que o processo de aquecimento aproxima, conhecido como temperatura de equilíbrio ou temperatura de operação estável.

Passo 4

Vamos ao item (c): calcular a taxa de variação T'(t) (derivada temporal) e avaliar em instantes dados. Vou explicar a regra de derivação usada: se f(t)=e^{kt} então f'(t)=k e^{kt}. Aqui temos T(t)=50+30-30e^{-0,05t}; as constantes desaparecem na derivada, e a derivada de -30e^{-0,05t} é -30)\cdot(-0,05)e^{-0,05t}=30\cdot0,05\,e^{-0,05t}. Portanto:
T'(t)=30\cdot 0,05\,e^{-0,05t}=1,5\,e^{-0,05t}\quad(^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}).
Agora calculamos nos instantes pedidos. Para avaliar exponenciales numéricos, uso aproximações comuns para e^{x}:
  • Em t=0:
T'(0)=1,5\,e^{0}=1,5\quad(^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}).
  • Em t=10:
T'(10)=1,5\,e^{-0,05\cdot 10}=1,5\,e^{-0,5}.
Sabendo e^{-0,5}\approx 0,60653066, temos
T'(10)\approx 1,5\cdot 0,60653066\approx 0,9098\quad(^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}).
  • Em t=40:
T'(40)=1,5\,e^{-0,05\cdot 40}=1,5\,e^{-2}.
Sabendo e^{-2}\approx 0,13533528, temos
T'(40)\approx 1,5\cdot 0,13533528\approx 0,2030\quad(^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}).
Agora a parte de estabilização: queremos T'(t)<0,05. Resolvemos a desigualdade passo a passo (explicando cada etapa):
1,5\,e^{-0,05t}<0,05.
Dividimos por 1,5 (positivo, então desigualdade mantém direção):
e^{-0,05t}<\dfrac{0,05}{1,5}=\dfrac{1}{30}\approx 0,0333333.
Aplicamos logaritmo natural (função monotonicamente crescente) para isolar t:
-0,05t<\ln\!\left(\dfrac{1}{30}\right)=-\ln(30).
Multiplicando por -1 inverte o sinal:
0,05t>\ln(30).
Finalmente dividimos por 0,05:
t>\dfrac{\ln(30)}{0,05}.
Cálculo numérico: \ln(30)\approx 3,40119738166, então
t>\dfrac{3,40119738166}{0,05}\approx 68,0239476\\ \text{min}.
Interpretação: após cerca de 68,02 minutos a taxa de aquecimento fica abaixo de 0,05^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}, então podemos considerar a temperatura estabilizada conforme o critério dado. Observação didática extra: o parâmetro 0,05 no expoente está relacionado à “constante de tempo” do sistema; a constante de tempo \tau é \tau=1/0,05=20 min — após cerca de 3\tau a função já está bem próxima do valor assintótico (aqui 3\tau=60 min, consistente com o intervalo obtido).

Passo 5

Item (d): calcular T(t) no tempo estimado de estabilização. Uma observação prática: na solução da desigualdade nós impusemos e^{-0,05t}=1/30. Assim no t de limite, o termo exponencial vale 1/30, o que simplifica a conta:
T(t_{\text{stab}})=50+30\Bigl(1-\dfrac{1}{30}\Bigr)=50+30\cdot\dfrac{29}{30}=50+29=79.
Portanto T(t_{\text{stab}})=79^\circ C. Comparação com o resultado do item (b): o valor assintótico é 80^\circ C; a temperatura no tempo de estabilização ( 79^\circ C) está a apenas 1^\circ C do valor final 80^\circ C. Significado prático: quando a taxa de variação fica menor que 0,05^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}, o equipamento já está praticamente na temperatura de regime — faltando apenas cerca de 1^\circ C para o valor final — o que geralmente é aceitável para considerar o sistema “estabilizado” na operação real.

Resposta

a) T(0)=50^\circ\mathrm{C}.
b) \displaystyle\lim_{t\to\infty}T(t)=80^\circ\mathrm{C}.
c) T'(t)=1,5\,e^{-0,05t} (^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}); T'(0)=1,5\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}; T'(10)\approx0,9098\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}; T'(40)\approx0,2030\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}. Tempo aproximado para estabilização: t\approx68,02 minutos.
d) T(t_{\text{stab}})=79,0^\circ\mathrm{C}.

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