De acordo com as informações descritas no enunciado, responda as questões abaixo:
a) Determine a temperatura do equipamento quando
e interprete o resultado no contexto do processo.
b)Calcule o limite da temperatura
quando
e explique o significado físico desse valor para a operação do equipamento.
c) Calcule a taxa de variação da temperatura
nos instantes
e
minutos. Considerando que a temperatura pode ser considerada estabilizada quando a taxa de variação for menor que
, estime o tempo aproximado necessário para que o equipamento atinja essa condição de estabilização térmica. Justifique seu raciocínio.
.
.
d) Calcule a temperatura
no tempo estimado para estabilização encontrado na letra c . Compare esse valor com o resultado obtido na letra b e explique o significado dessa comparação para a operação do equipamento.
a) Determine a temperatura do equipamento quando
d) Calcule a temperatura
Passo 1
O enunciado nos dá a função temperatura do equipamento em função do tempo
(em minutos). A expressão, que aparece implicitamente nas suas contas, é:
Listei abaixo o que o problema pede, e quais dados temos:
- Dado:
. - Perguntas:
a) Determine a temperatura quandoe interprete fisicamente.
b) Calculee interprete fisicamente esse limite.
c) Calcule a taxa de variaçãoe avalie nos instantes , e minutos. Usando o critério de estabilização “taxa ”, estime o tempo necessário para estabilizar e justifique.
d) Calculeno tempo estimado de estabilização e compare com o valor do item (b); explique o significado prático dessa comparação.
Passo 2
Vamos resolver (a). Substituir
em
é direto. Lembrete rápido sobre exponenciais:
. Portanto fazemos:
Interpretação física (em linguagem simples):
significa que, no instante inicial considerado (
), o equipamento está a
. Em modelos de aquecimento/resfriamento desse tipo, esse é o valor inicial de temperatura antes do processo (ponto de partida).
Passo 3
Agora o item (b). Precisamos do limite quando
. Propriedade usada:
para
. Aplicando ao nosso caso:
Interpretação física:
é a temperatura de regime permanente (o valor assintótico). Ou seja, após tempo muito grande o equipamento tende a estabilizar em
. Isso é o valor final que o processo de aquecimento aproxima, conhecido como temperatura de equilíbrio ou temperatura de operação estável.
Passo 4
Vamos ao item (c): calcular a taxa de variação
(derivada temporal) e avaliar em instantes dados. Vou explicar a regra de derivação usada: se
então
. Aqui temos
; as constantes desaparecem na derivada, e a derivada de
é
. Portanto:
Agora calculamos nos instantes pedidos. Para avaliar exponenciales numéricos, uso aproximações comuns para
:
- Em
:
- Em
:
Sabendo
, temos
- Em
:
Sabendo
, temos
Agora a parte de estabilização: queremos
. Resolvemos a desigualdade passo a passo (explicando cada etapa):
Dividimos por
(positivo, então desigualdade mantém direção):
Aplicamos logaritmo natural (função monotonicamente crescente) para isolar
:
Multiplicando por
inverte o sinal:
Finalmente dividimos por
:
Cálculo numérico:
, então
Interpretação: após cerca de
minutos a taxa de aquecimento fica abaixo de
, então podemos considerar a temperatura estabilizada conforme o critério dado. Observação didática extra: o parâmetro
no expoente está relacionado à “constante de tempo” do sistema; a constante de tempo
é
min — após cerca de
a função já está bem próxima do valor assintótico (aqui
min, consistente com o intervalo obtido).
Passo 5
Item (d): calcular
no tempo estimado de estabilização. Uma observação prática: na solução da desigualdade nós impusemos
. Assim no
de limite, o termo exponencial vale
, o que simplifica a conta:
Portanto
. Comparação com o resultado do item (b): o valor assintótico é
; a temperatura no tempo de estabilização (
) está a apenas
do valor final
. Significado prático: quando a taxa de variação fica menor que
, o equipamento já está praticamente na temperatura de regime — faltando apenas cerca de
para o valor final — o que geralmente é aceitável para considerar o sistema “estabilizado” na operação real.
Resposta
a)
.
b) .
c)
;
;
;
. Tempo aproximado para estabilização:
minutos.
d) .
b)
c)
d)