(3.) (2,0 pontos) Encontre as assíntotas verticais da funçāo
H(x)=\frac{x}{x^{2}-16}
Dica: As retas verticais que interceptam o eixo x nos pontos que estāo fora do domínio, são as candidatas a serem as assíntotas verticais.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
H(x)=\frac{x}{x^{2}-16}
e pede para encontrar as assíntotas verticais. Informações relevantes fornecidas:
  • O denominador é x^{2}-16.
  • A dica diz que as retas verticais candidatas são as que interceptam o eixo x em pontos fora do domínio (ou seja, onde o denominador é zero).
    O que precisamos responder: identificar todas as retas verticais x=a que são assíntotas verticais de H.

Passo 2

Determinar o domínio e os pontos candidatos:
  • O denominador não pode ser zero, então resolvemos
x^{2}-16=0.
  • Factorizando,
x^{2}-16=(x-4)(x+4).
  • Logo as raízes são x=4 e x=-4. Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,-4,4\,\} e as candidatas a assíntotas verticais são as retas x=4 e x=-4.

Passo 3

Definição e estratégia para testar cada candidata:
  • Definição prática: a reta x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das limites laterais
\lim_{x\to a^-} f(x)\quad\text{ou}\quad\lim_{x\to a^+} f(x)
for \pm\infty.
  • Estratégia útil para funções racionais: fatorar de modo a separar um fator do tipo 1/(x-a) multiplicado por uma função que tende a um número finito e não nulo quando x\to a. Se isso acontecer, o comportamento infinito vem do 1/(x-a) e confirma a assíntota vertical. Vou aplicar essa ideia a cada ponto.

Passo 4

Análise em x=4:
  • Escrevo H(x) isolando o fator x-4:
H(x)=\frac{x}{(x-4)(x+4)}=\frac{x}{x+4}\cdot\frac{1}{x-4}.
  • Avalio a primeira fração quando x\to 4:
\lim_{x\to 4}\frac{x}{x+4}=\frac{4}{4+4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},
que é um número finito e não nulo.
  • Já o fator \dfrac{1}{x-4} tem limites laterais
\lim_{x\to 4^-}\frac{1}{x-4}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 4^+}\frac{1}{x-4}=+\infty.
  • Multiplicando pelo fator que tende a \tfrac{1}{2}, obtemos
\lim_{x\to 4^-}H(x)=\frac{1}{2}\cdot(-\infty)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 4^+}H(x)=\frac{1}{2}\cdot(+\infty)=+\infty.
  • Conclusão: em x=4 pelo menos uma das limites laterais é infinito (na verdade ambos são \pm\infty), portanto x=4 é assíntota vertical.

Passo 5

Análise em x=-4:
  • Escrevo H(x) isolando o fator x+4:
H(x)=\frac{x}{(x-4)(x+4)}=\frac{x}{x-4}\cdot\frac{1}{x+4}.
  • Avalio a primeira fração quando x\to -4:
\lim_{x\to -4}\frac{x}{x-4}=\frac{-4}{-4-4}=\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2},
novamente um número finito e não nulo.
  • O fator \dfrac{1}{x+4} tem limites laterais
\lim_{x\to -4^-}\frac{1}{x+4}=-\infty,\qquad \lim_{x\to -4^+}\frac{1}{x+4}=+\infty.
  • Multiplicando pelo fator que tende a \tfrac{1}{2}, obtemos
\lim_{x\to -4^-}H(x)=\frac{1}{2}\cdot(-\infty)=-\infty,\qquad \lim_{x\to -4^+}H(x)=\frac{1}{2}\cdot(+\infty)=+\infty.
  • Conclusão: em x=-4 também há divergência para infinito nas proximidades, então x=-4 é assíntota vertical.

Passo 6

Conclusão final: ambos os pontos onde o denominador se anula produzem comportamento infinito (pólos simples), logo geram assíntotas verticais. Força aí, essas questões de assíntota são sempre esse procedimento: achar zeros do denominador e verificar que o numerador não anula exatamente da mesma forma — se o numerador também anulasse e “cancelasse” o fator, a reta poderia não ser assíntota.

Resposta

x=-4
x=4

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