(3.) (2,0 pontos) Encontre as assíntotas verticais da funçāo
Dica: As retas verticais que interceptam o eixo x nos pontos que estāo fora do domínio, são as candidatas a serem as assíntotas verticais.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para encontrar as assíntotas verticais. Informações relevantes fornecidas:
- O denominador é
. - A dica diz que as retas verticais candidatas são as que interceptam o eixo
em pontos fora do domínio (ou seja, onde o denominador é zero).
O que precisamos responder: identificar todas as retas verticaisque são assíntotas verticais de .
Passo 2
Determinar o domínio e os pontos candidatos:
- O denominador não pode ser zero, então resolvemos
- Factorizando,
- Logo as raízes são
e . Portanto o domínio é e as candidatas a assíntotas verticais são as retas e .
Passo 3
Definição e estratégia para testar cada candidata:
- Definição prática: a reta
é assíntota vertical de se pelo menos uma das limites laterais
for
.
- Estratégia útil para funções racionais: fatorar de modo a separar um fator do tipo
multiplicado por uma função que tende a um número finito e não nulo quando . Se isso acontecer, o comportamento infinito vem do e confirma a assíntota vertical. Vou aplicar essa ideia a cada ponto.
Passo 4
Análise em
:
- Escrevo
isolando o fator :
- Avalio a primeira fração quando
:
que é um número finito e não nulo.
- Já o fator
tem limites laterais
- Multiplicando pelo fator que tende a
, obtemos
- Conclusão: em
pelo menos uma das limites laterais é infinito (na verdade ambos são ), portanto é assíntota vertical.
Passo 5
Análise em
:
- Escrevo
isolando o fator :
- Avalio a primeira fração quando
:
novamente um número finito e não nulo.
- O fator
tem limites laterais
- Multiplicando pelo fator que tende a
, obtemos
- Conclusão: em
também há divergência para infinito nas proximidades, então é assíntota vertical.
Passo 6
Conclusão final: ambos os pontos onde o denominador se anula produzem comportamento infinito (pólos simples), logo geram assíntotas verticais. Força aí, essas questões de assíntota são sempre esse procedimento: achar zeros do denominador e verificar que o numerador não anula exatamente da mesma forma — se o numerador também anulasse e “cancelasse” o fator, a reta poderia não ser assíntota.