( 2 pontos) Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 .

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=1.
O que se pede: encontrar explicitamente a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.

Passo 2

Vou lembrar o que é a Transformada de Laplace e as fórmulas que vou usar (com explicação didática).
  • Definição: a Transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge 0) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa que costuma ser tomada real e suficientemente grande para garantir convergência. Aqui escrevo F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Transformada de derivadas (fórmulas fundamentais para resolver EDOs): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Explicação curta: aplicar a integral com partes leva a essas expressões; elas transformam derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s), o que transforma a EDO em uma equação algébrica em Y(s). Um exemplo rápido: \mathcal{L}\{1\}=1/s porque \int_0^\infty e^{-st}dt=1/s para s>0.

Passo 3

Aplico a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Usando linearidade,
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituo as fórmulas das derivadas e denoto Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-2\big(sY(s)-y(0)\big)+2Y(s)=0.
Agora uso as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Substituindo:
\big(s^{2}Y(s)-0-1\big)-2\big(sY(s)-0\big)+2Y(s)=0.
Simplifico os termos que contêm Y(s) e os termos constantes:
s^{2}Y(s)-1-2sY(s)+2Y(s)=0.
Agrupando Y(s):
Y(s)\big(s^{2}-2s+2\big)-1=0.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{1}{s^{2}-2s+2}.

Passo 4

Vou manipular Y(s) para reconhecê-la como a transformada de uma função conhecida. Completo o quadrado no denominador:
s^{2}-2s+2=(s-1)^{2}+1.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.
Agora lembro duas tabelas-padrões (com explicação do que cada símbolo significa):
  • \mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}. Aqui b é a frequência da senoide.
  • Teorema do deslocamento exponencial (shift): \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a) se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). Ou seja, trocar s por s-a na imagem corresponde a multiplicar por e^{at} no tempo.
    Comparando \dfrac{1}{(s-1)^{2}+1} com a forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}, vemos que aqui a=1 e b=1, e o numerador é b=1. Logo Y(s) é exatamente a transformada de \,e^{t}\sin t, porque
\mathcal{L}\{e^{t}\sin t\}(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.

Passo 5

Aplico a transformada inversa, que é direta por identificação com a fórmula anterior:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^{2}+1}\right\}=e^{t}\sin t.
Comentário prático: a estratégia foi transformar a EDO em álgebra, obter Y(s) e depois reconhecer o padrão de tabela para voltar ao domínio do tempo. Aqui o padrão foi o da seno multiplicado por exponencial.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calculo y(0) e y'(0) e substituo na EDO para confirmar.
  • Com y(t)=e^{t}\sin t temos
y(0)=e^{0}\sin 0=0,
y'(t)=e^{t}\sin t+e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t),
logo
y'(0)=1\cdot(0+1)=1,
que coincide com as condições iniciais.
  • Calculo y''(t):
y''(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}(\sin t+\cos t)\big)=e^{t}(\sin t+\cos t)+e^{t}(\cos t-\sin t)=2e^{t}\cos t.
Substituindo na EDO:
y''-2y'+2y=2e^{t}\cos t-2e^{t}(\sin t+\cos t)+2e^{t}\sin t=0,
portanto a equação é satisfeita. Tudo confere: a solução está correta.

Resposta

y(t)=e^{t}\sin t

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