( 2 pontos) Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com as condições iniciais
O que se pede: encontrar explicitamente a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.
Passo 2
Vou lembrar o que é a Transformada de Laplace e as fórmulas que vou usar (com explicação didática).
- Definição: a Transformada de Laplace de uma função
(para ) é
onde
é uma variável complexa que costuma ser tomada real e suficientemente grande para garantir convergência. Aqui escrevo
.
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas (fórmulas fundamentais para resolver EDOs): se
, então
Explicação curta: aplicar a integral com partes leva a essas expressões; elas transformam derivadas em polinômios em
multiplicando
, o que transforma a EDO em uma equação algébrica em
. Um exemplo rápido:
porque
para
.
Passo 3
Aplico a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Usando linearidade,
Substituo as fórmulas das derivadas e denoto
:
Agora uso as condições iniciais
e
. Substituindo:
Simplifico os termos que contêm
e os termos constantes:
Agrupando
:
Isolando
:
Passo 4
Vou manipular
para reconhecê-la como a transformada de uma função conhecida. Completo o quadrado no denominador:
Portanto
Agora lembro duas tabelas-padrões (com explicação do que cada símbolo significa):
-
. Aqui é a frequência da senoide. - Teorema do deslocamento exponencial (shift):
se . Ou seja, trocar por na imagem corresponde a multiplicar por no tempo.
Comparandocom a forma , vemos que aqui e , e o numerador é . Logo é exatamente a transformada de , porque
Passo 5
Aplico a transformada inversa, que é direta por identificação com a fórmula anterior:
Comentário prático: a estratégia foi transformar a EDO em álgebra, obter
e depois reconhecer o padrão de tabela para voltar ao domínio do tempo. Aqui o padrão foi o da seno multiplicado por exponencial.
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calculo
e
e substituo na EDO para confirmar.
- Com
temos
logo
que coincide com as condições iniciais.
- Calculo
:
Substituindo na EDO:
portanto a equação é satisfeita. Tudo confere: a solução está correta.