(2 pontos) Verifique que as séries de potencias
y_{1}=1+\frac{x^{3}}{2 \cdot 3}+\frac{x^{6}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6}+\frac{x^{9}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9}+\frac{x^{12}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 12}+\cdots
e
y_{2}=x+\frac{x^{4}}{3 \cdot 4}+\frac{x^{7}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7}+\frac{x^{10}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 10}+\frac{x^{13}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 13}+\cdots
são soluções da equação
y^{\prime \prime}-x y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as duas séries dadas são soluções da equação diferencial
y''-x y=0.
As séries fornecidas são
y_{1}=1+\frac{x^{3}}{2\cdot 3}+\frac{x^{6}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6}+\frac{x^{9}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6\cdot 8\cdot 9}+\cdots
e
y_{2}=x+\frac{x^{4}}{3\cdot 4}+\frac{x^{7}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7}+\frac{x^{10}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 9\cdot 10}+\cdots.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Cada série é uma série de potências centrada em 0.
  • A equação a verificar é \;y''-x y=0\;.
  • Deve-se mostrar que, ao substituir cada série na equação, a igualdade é satisfeita (ou equivalentemente que os coeficientes da série resultante se anulam, gerando a mesma recorrência que os coeficientes das séries satisfazem).

Passo 2

Vamos trabalhar com uma série de potências genérica
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
e derivá‑la termo a termo (isso é permitido dentro do raio de convergência). Então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Substituindo na equação \;y''-x y=0\; obtemos
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \;-\; x\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\;0.

Passo 3

Alinhamos as potências para comparar coeficientes. Na primeira soma fazemos a mudança de índice m=n-2; na segunda escrevemos explicitamente a potência x^{n+1} ou mudamos índice para a mesma potência:
\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1) a_{m+2} x^{m} \;-\; \sum_{m=1}^{\infty} a_{m-1} x^{m} \;=\;0.
Agora, examinando o coeficiente de x^0 (termo independente): só aparece na primeira soma com m=0, dando
2\cdot 1\; a_2 =0 \quad\Rightarrow\quad a_2=0.
Para m\ge 1 o coeficiente de x^m dá a recorrência
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} - a_{m-1}=0,
ou seja
a_{m+2}=\frac{a_{m-1}}{(m+2)(m+1)}\qquad (m\ge 1).

Passo 4

Note que a recorrência relaciona a_{m+2} com a_{m-1}: isso desloca o índice em 3. Portanto os coeficientes se separam em três “cadeias” independentes, correspondentes às classes de congruência dos índices módulo 3:
  • a cadeia a_0, a_3, a_6, a_9,\dots;
  • a cadeia a_1, a_4, a_7, a_{10},\dots;
  • a cadeia a_2, a_5, a_8, \dots.
Como já encontramos a_2=0, aplicando a recorrência vemos que a_5=\dfrac{a_2}{5\cdot4}=0, depois a_8=\dfrac{a_5}{8\cdot7}=0, e assim por diante. Logo todos os coeficientes da classe congruente a 2 (isto é, a_{3k+2}) são zero. Assim as soluções não-triviais vêm apenas das escolhas livres de a_0 e a_1: uma solução com a_0\neq0, a_1=0 gera uma série com potências x^{3k}; outra com a_0=0,a_1\neq0 gera potências x^{3k+1}.

Passo 5

Vamos obter fórmulas fechadas para os coeficientes das duas cadeias não nulas.
Para a cadeia dos índices 3k: tomar m=3j-1 na recorrência gera, iterando,
a_3=\frac{a_0}{3\cdot 2},\qquad a_6=\frac{a_3}{6\cdot 5}=\frac{a_0}{(3\cdot2)(6\cdot5)},\qquad a_9=\frac{a_6}{9\cdot8}=\frac{a_0}{(3\cdot2)(6\cdot5)(9\cdot8)},
e em geral, por iteração (fácil provar por indução), para k\ge 1,
a_{3k}=\frac{a_0}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (3j)(3j-1)}.
Assim a parte correspondente a a_0 é
\sum_{k=0}^{\infty} a_{3k} x^{3k} = a_0\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (3j)(3j-1)},
onde pelo convênio o produto é vazio e igual a 1 quando k=0.
Para a cadeia dos índices 3k+1: similarmente
a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\qquad a_7=\frac{a_4}{7\cdot6}=\frac{a_1}{(4\cdot3)(7\cdot6)},\\ \text{etc.}
Em geral, para k\ge 0,
a_{3k+1}=\frac{a_1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (3j+1)(3j)}.
(Aqui para k=0 o produto vazio dá a_1 como esperado no termo x^{1}.)

Passo 6

Agora escolhemos os valores iniciais que reproduzem as séries do enunciado.
Para y_1 vemos que ela começa com 1 (termo constante) e não tem termo em x. Assim tomamos a_0=1 e a_1=0. Pelas fórmulas acima os únicos coeficientes não nulos são a_{3k} com
a_{3k}=\frac{1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (3j)(3j-1)}.
Escrevendo os primeiros termos obtemos exatamente
y_1=1+\frac{x^{3}}{2\cdot 3}+\frac{x^{6}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6}+\cdots,
que é a série dada.
Para y_2 ela começa com x e não tem termo constante, então tomamos a_0=0 e a_1=1. Pelas fórmulas,
a_{3k+1}=\frac{1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (3j+1)(3j)},
e os primeiros termos são
y_2=x+\frac{x^{4}}{3\cdot 4}+\frac{x^{7}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7}+\cdots,
que coincide com a série do enunciado.

Passo 7

Conclusão lógica: as séries y_1 e y_2 são exatamente as soluções de séries de potências obtidas a partir da recorrência que resulta ao substituir uma série genérica na equação \;y''-x y=0. Como mostram os passos acima, escolhendo a_0=1,a_1=0 e a_0=0,a_1=1 obtemos precisamente as duas séries dadas; portanto ambas satisfazem a equação diferencial termo a termo e são, portanto, soluções.

Resposta

y_{1} e y_{2} satisfazem \;y''-x y=0\;, isto é, y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial.

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