(2 pontos) Verifique que as séries de potencias
e
são soluções da equação
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as duas séries dadas são soluções da equação diferencial
As séries fornecidas são
e
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Cada série é uma série de potências centrada em
. - A equação a verificar é
. - Deve-se mostrar que, ao substituir cada série na equação, a igualdade é satisfeita (ou equivalentemente que os coeficientes da série resultante se anulam, gerando a mesma recorrência que os coeficientes das séries satisfazem).
Passo 2
Vamos trabalhar com uma série de potências genérica
e derivá‑la termo a termo (isso é permitido dentro do raio de convergência). Então
Substituindo na equação
obtemos
Passo 3
Alinhamos as potências para comparar coeficientes. Na primeira soma fazemos a mudança de índice
; na segunda escrevemos explicitamente a potência
ou mudamos índice para a mesma potência:
Agora, examinando o coeficiente de
(termo independente): só aparece na primeira soma com
, dando
Para
o coeficiente de
dá a recorrência
ou seja
Passo 4
Note que a recorrência relaciona
com
: isso desloca o índice em
. Portanto os coeficientes se separam em três “cadeias” independentes, correspondentes às classes de congruência dos índices módulo
:
- a cadeia
; - a cadeia
; - a cadeia
.
Como já encontramos
, aplicando a recorrência vemos que
, depois
, e assim por diante. Logo todos os coeficientes da classe congruente a
(isto é,
) são zero. Assim as soluções não-triviais vêm apenas das escolhas livres de
e
: uma solução com
gera uma série com potências
; outra com
gera potências
.
Passo 5
Vamos obter fórmulas fechadas para os coeficientes das duas cadeias não nulas.
Para a cadeia dos índices
: tomar
na recorrência gera, iterando,
e em geral, por iteração (fácil provar por indução), para
,
Assim a parte correspondente a
é
onde pelo convênio o produto é vazio e igual a
quando
.
Para a cadeia dos índices
: similarmente
Em geral, para
,
(Aqui para
o produto vazio dá
como esperado no termo
.)
Passo 6
Agora escolhemos os valores iniciais que reproduzem as séries do enunciado.
Para
vemos que ela começa com
(termo constante) e não tem termo em
. Assim tomamos
e
. Pelas fórmulas acima os únicos coeficientes não nulos são
com
Escrevendo os primeiros termos obtemos exatamente
que é a série dada.
Para
ela começa com
e não tem termo constante, então tomamos
e
. Pelas fórmulas,
e os primeiros termos são
que coincide com a série do enunciado.
Passo 7
Conclusão lógica: as séries
e
são exatamente as soluções de séries de potências obtidas a partir da recorrência que resulta ao substituir uma série genérica na equação
. Como mostram os passos acima, escolhendo
e
obtemos precisamente as duas séries dadas; portanto ambas satisfazem a equação diferencial termo a termo e são, portanto, soluções.