(3 pontos) Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular as seguintes integrais:
(b) \iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V, em que B é a bola unitária com centro na origem e raio 1 .

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido claramente):
  • Dado o domínio B que é a bola unitária centrada na origem, isto é
B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\}.
  • Pede calcular a integral
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV.

Passo 2

Por que trocar de coordenadas e como são as coordenadas esféricas (aula curta):
  • A função que aparece no integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}, isto é, depende só da distância ao origem. Para funções radiais em regiões esféricas é muito natural usar coordenadas esféricas porque a expressão x^{2}+y^{2}+z^{2} vira simplesmente r^{2}.
  • Definição das coordenadas esféricas (convenção usual):
x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=r\cos\varphi,
onde r\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi] é o ângulo azimutal no plano xy.
  • Elemento de volume (Jacobiano): ao mudar de (x,y,z) para (r,\varphi,\theta) o elemento de volume transforma-se em
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Breve intuição: fatias de esfera de raio r têm área aproximadamente 4\pi r^{2}; o fator \sin\varphi vem do comprimento da linha de latitude e o r^{2} do fator radial (detalhes formais vêm do determinante da matriz jacobiana).

Passo 3

Expressar a integral em coordenadas esféricas:
  • Observação imediata: x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, logo o integrando e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} vira e^{r^{2}}.
  • Os limites para a bola unitária são r\in[0,1], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi].
  • Assim a integral fica
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\; r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Separar a integral (variáveis independentes) e calcular as integrais angulares:
  • A expressão separa porque e^{r^{2}}r^{2} depende só de r e \sin\varphi só de \varphi. Assim
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} e^{r^{2}} r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{1} e^{r^{2}} r^{2}\,dr\right).
  • Calcule as duas integrais angulares:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos0)=2.
  • Portanto o fator angular é 2\pi\cdot 2 = 4\pi, e a integral reduz-se a
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = 4\pi\int_{0}^{1} e^{r^{2}} r^{2}\,dr.

Passo 5

Avaliar a integral radial \displaystyle \int_{0}^{1} e^{r^{2}} r^{2}\,dr (passo a passo):
  • Note que \displaystyle \int e^{r^{2}} r^{2}\,dr não é trivial imediatamente, mas podemos usar integração por partes observando que r^{2}=r\cdot r. Escrevemos
\int_{0}^{1} e^{r^{2}} r^{2}\,dr = \int_{0}^{1} r\cdot \bigl(r e^{r^{2}}\bigr)\,dr.
  • Faça integração por partes com u=r e dv = r e^{r^{2}}\,dr. Então
du = dr,\qquad v = \int r e^{r^{2}}\,dr = \tfrac{1}{2} e^{r^{2}},
pois \dfrac{d}{dr} e^{r^{2}} = 2r e^{r^{2}}.
  • Aplicando a fórmula de partes \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
\int_{0}^{1} e^{r^{2}} r^{2}\,dr = \left[r\cdot \tfrac{1}{2} e^{r^{2}}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \tfrac{1}{2} e^{r^{2}}\,dr.
  • Avaliando o primeiro termo:
\left[r\cdot \tfrac{1}{2} e^{r^{2}}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot e^{1} - 0 = \tfrac{1}{2} e.
  • Logo
\int_{0}^{1} e^{r^{2}} r^{2}\,dr = \tfrac{1}{2} e - \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\,dr.

Passo 6

Expressar a integral restante \displaystyle \int_{0}^{1} e^{r^{2}}\,dr usando a função erro imaginária e concluir:
  • A primitiva de e^{r^{2}} não é uma função elementar. Introduzimos a função erro imaginária definida por
\operatorname{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt.
  • Assim
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\,dr = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1).
  • Substituindo na expressão do Passo 5:
\int_{0}^{1} e^{r^{2}} r^{2}\,dr = \tfrac{1}{2}e - \tfrac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1) = \tfrac{1}{2}e - \tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\,\operatorname{erfi}(1).
  • Multiplicando pelo fator angular 4\pi que tínhamos:
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = 4\pi\left(\tfrac{1}{2}e - \tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\,\operatorname{erfi}(1)\right).
  • Simplificando:
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = 2\pi e - \pi^{3/2}\,\operatorname{erfi}(1).

Resposta

2\pi e - \pi^{3/2}\,\operatorname{erfi}(1)

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