(3 pontos) Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular as seguintes integrais:
(b)
, em que
é a bola unitária com centro na origem e raio 1 .
(b)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido claramente):
- Dado o domínio
que é a bola unitária centrada na origem, isto é
- Pede calcular a integral
Passo 2
Por que trocar de coordenadas e como são as coordenadas esféricas (aula curta):
- A função que aparece no integrando depende apenas de
, isto é, depende só da distância ao origem. Para funções radiais em regiões esféricas é muito natural usar coordenadas esféricas porque a expressão vira simplesmente . - Definição das coordenadas esféricas (convenção usual):
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
.
- Elemento de volume (Jacobiano): ao mudar de
para o elemento de volume transforma-se em
Breve intuição: fatias de esfera de raio
têm área aproximadamente
; o fator
vem do comprimento da linha de latitude e o
do fator radial (detalhes formais vêm do determinante da matriz jacobiana).
Passo 3
Expressar a integral em coordenadas esféricas:
- Observação imediata:
, logo o integrando vira . - Os limites para a bola unitária são
, , . - Assim a integral fica
Passo 4
Separar a integral (variáveis independentes) e calcular as integrais angulares:
- A expressão separa porque
depende só de e só de . Assim
- Calcule as duas integrais angulares:
- Portanto o fator angular é
, e a integral reduz-se a
Passo 5
Avaliar a integral radial
(passo a passo):
- Note que
não é trivial imediatamente, mas podemos usar integração por partes observando que . Escrevemos
- Faça integração por partes com
e . Então
pois
.
- Aplicando a fórmula de partes
obtemos
- Avaliando o primeiro termo:
- Logo
Passo 6
Expressar a integral restante
usando a função erro imaginária e concluir:
- A primitiva de
não é uma função elementar. Introduzimos a função erro imaginária definida por
- Assim
- Substituindo na expressão do Passo 5:
- Multiplicando pelo fator angular
que tínhamos:
- Simplificando: