(3 pontos) Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular as seguintes integrais:
(a) \iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, em que D é o domínio contido dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 e entre os planos z=-3 e z=4;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado pede calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dV.
O domínio D é descrito por: está dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}=16 (ou seja, raio 4) e entre os planos \,z=-3 e \,z=4.
Portanto as informações relevantes são:
a função integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}};
a projeção no plano xy é o disco de raio 4 centrado na origem (x^{2}+y^{2}\le 16);
a coordenada z varia entre -3 e 4.
Passo 2
Escolheremos o sistema de coordenadas mais apropriado e explicarei as fórmulas que vamos usar.
Motivo da escolha: a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} e a região no plano xy são circulares em torno da origem, então coordenadas cilíndricas são naturais e simplificam muito as contas.
Conversão para coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
z = z,
onde r\ge 0 é a distância radial ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
Elemento de volume em cilíndricas: dV = r\,dr\,d\theta\,dz. Explicação: o jacobiano da transformação (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z) é r, então o pequeno volume se escreve como r\,dr\,d\theta\,dz.
Passo 3
Converter a integranda e os limites para coordenadas cilíndricas.
A integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} em cilíndricas fica simplesmente r, porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (tomando r\ge 0).
O elemento dV é r\,dr\,d\theta\,dz. Portanto o integrando multiplicado por dV vira r\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = r^{2}\,dr\,d\theta\,dz.
Limites:
r varia de 0 até 4 (pois x^{2}+y^{2}\le 16);
\theta varia de 0 até 2\pi para cobrir todo o disco;
z varia de -3 até 4.
Passo 4
Montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas (escrevo a integral com as variáveis e limites explícitos):
\iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{4}\int_{z=-3}^{4} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo, integrando em z primeiro (é o passo mais simples):
Multiplicando pelo 7 já factorizado dá 7\cdot\frac{64}{3} = \frac{448}{3}.
Integração em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando todas as partes:
\frac{448}{3}\cdot 2\pi = \frac{896\pi}{3}.
Passo 6
Verificação rápida de consistência (sentido físico): a integral é positiva e tem fator \pi vindo da integral angular, o que faz sentido para uma função radial integrada sobre um cilindro simétrico.