(3 pontos) Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular as seguintes integrais:
(a) \iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, em que D é o domínio contido dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 e entre os planos z=-3 e z=4;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dV.
  • O domínio D é descrito por: está dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}=16 (ou seja, raio 4) e entre os planos \,z=-3 e \,z=4.
  • Portanto as informações relevantes são:
    • a função integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}};
    • a projeção no plano xy é o disco de raio 4 centrado na origem ( x^{2}+y^{2}\le 16);
    • a coordenada z varia entre -3 e 4.

Passo 2

Escolheremos o sistema de coordenadas mais apropriado e explicarei as fórmulas que vamos usar.
  • Motivo da escolha: a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} e a região no plano xy são circulares em torno da origem, então coordenadas cilíndricas são naturais e simplificam muito as contas.
  • Conversão para coordenadas cilíndricas:
    • x = r\cos\theta,
    • y = r\sin\theta,
    • z = z,
      onde r\ge 0 é a distância radial ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • Elemento de volume em cilíndricas: dV = r\,dr\,d\theta\,dz. Explicação: o jacobiano da transformação (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z) é r, então o pequeno volume se escreve como r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Converter a integranda e os limites para coordenadas cilíndricas.
  • A integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} em cilíndricas fica simplesmente r, porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (tomando r\ge 0).
  • O elemento dV é r\,dr\,d\theta\,dz. Portanto o integrando multiplicado por dV vira r\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = r^{2}\,dr\,d\theta\,dz.
  • Limites:
    • r varia de 0 até 4 (pois x^{2}+y^{2}\le 16);
    • \theta varia de 0 até 2\pi para cobrir todo o disco;
    • z varia de -3 até 4.

Passo 4

Montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas (escrevo a integral com as variáveis e limites explícitos):
\iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{4}\int_{z=-3}^{4} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo, integrando em z primeiro (é o passo mais simples):
  • Integração em z:
\int_{z=-3}^{4} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl[z\bigr]_{-3}^{4} = r^{2}\,(4-(-3)) = 7\,r^{2}.
  • Agora a integral reduz-se a:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} 7\,r^{2}\,dr\,d\theta.
  • Integração em r:
\int_{0}^{4} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{4} = \frac{4^{3}}{3} = \frac{64}{3}.
Multiplicando pelo 7 já factorizado dá 7\cdot\frac{64}{3} = \frac{448}{3}.
  • Integração em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Multiplicando todas as partes:
\frac{448}{3}\cdot 2\pi = \frac{896\pi}{3}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (sentido físico): a integral é positiva e tem fator \pi vindo da integral angular, o que faz sentido para uma função radial integrada sobre um cilindro simétrico.

Resposta

\displaystyle \frac{896\pi}{3}

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