- (2. pontos) Utilize transformadas de Laplace para resolver a seguinte equação diferencial de primeira ordem com valor inicial:
Passo 1
A equação é y′−5y=0 com y(0)=2. O conteúdo é transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais de 1ª ordem. Vamos usar a definição L{y(t)}=Y(s) e a propriedade L{y′(t)}=sY(s)−y(0).
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de y′−5y=0 obtemos:
L{y′}−5L{y}=0
Substituindo as propriedades:
L{y′}−5L{y}=0
Substituindo as propriedades:
(sY(s)−y(0))−5Y(s)=0
Passo 3
Como y(0)=2, temos:
(sY(s)−2)−5Y(s)=0
Agrupando Y(s):
Y(s)(s−5)=2
Passo 4
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{2}{s−5}
Passo 5
Para voltar ao domínio t, reconhecemos na tabela de transformadas que
L{-1}{\tfrac{1}{s−a}}=e{at}.
Logo,
L{-1}{Y(s)}=2,e{5t},
e essa é a solução y(t).