1. (2 pontos) Simplificando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de
ss^2-2 s+5

Passo 1

A questão pede a transformada inversa de Laplace de ss^2-2s+5. O conteúdo é transformada inversa de Laplace e vamos precisar completar quadrado e usar as tabelas básicas de transformadas.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador para identificar o parâmetro de deslocamento.
s^2-2s+5=(s-1)^2+4

Passo 3

Em seguida, escrevemos o numerador de modo a explorar as formas padrão de e^atcos(bt) e e^atsin(bt). Note que
s = (s-1) + 1
Logo,
ss^2-2s+5 = s-1(s-1)^2+4 + 1(s-1)^2+4

Passo 4

Agora usamos as transformadas usuais:
  • L^-1ls-1(s-1)^2+2^2r = e^tcos(2t).
  • L^-1l2(s-1)^2+2^2r = e^tsin(2t).
    Em nosso caso o segundo termo tem numerador 1, então é metade do caso acima:
L^-1l1(s-1)^2+4r = tfrac12e^tsin(2t)

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
f(t)=e^tcos(2t)+tfrac12,e^tsin(2t)

Resposta

f(t)=e^tcos(2t)+tfrac12e^tsin(2t)

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