1. (2.0 pontos) Utilize transformadas de Laplace para resolver a seguinte equação diferencial de segunda ordem com valores iniciais:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem y''+2y'+2y=0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1 usando transformada de Laplace. Vamos trabalhar com a transformada Y(s)=Ly(t) e as fórmulas Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando L em cada termo de y''+2y'+2y=0 obtemos
Ly''+2,Ly'+2,Ly=0
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais:
l(s^2Y(s)-scdot1-1r)+2l(sY(s)-1r)+2Y(s)=0

Passo 3

Reorganizando os termos em Y(s) e isolando:
Y(s)l(s^2+2s+2r)-(s+1+2)=0
Logo,
Y(s)l(s^2+2s+2r)=s+3
Y(s)=s+3s^2+2s+2

Passo 4

Para inverter, completamos o quadrado no denominador:
s^2+2s+2=(s+1)^2+1
Assim:
Y(s)=s+1(s+1)^2+1+2(s+1)^2+1

Passo 5

Usando tabelas de transformada inversa:
L^-1ls+1(s+1)^2+1r=e^-tcos t,
L^-1l2(s+1)^2+1r=2e^-tsin t
Portanto,
y(t)=e^-tcos t+2e^-tsin t=e^-t(cos t+2sin t)

Resposta

y(t)=e^{-t}(\cos t+2\sin t)

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