Calcule os limites das sequências abaixo e determine se converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede o limite da sequência
quando
e identificar se ela converge ou diverge. Estamos em um tópico de limites de sequências e precisamos usar a ideia de compararmos a taxa de crescimento de logaritmo e de funções lineares (ou aplicar o Teorema de l’Hôpital numa função contínua equivalente).
Passo 2
Para usar o Teorema de l’Hôpital, estendemos
para a função contínua
. Quando
, temos uma forma
, então derivamos numerador e denominador:
Passo 3
Como
quando
, concluímos pelo Teorema de l’Hôpital que
Passo 4
Portanto, o limite da sequência
é 0. Como o limite existe e é finito, a sequência converge.