Calcule os limites das sequências abaixo e determine se converge ou diverge:
ln (n+1)n+1

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência an = ln(n+1)n+1 quando n to infty e identificar se ela converge ou diverge. Estamos em um tópico de limites de sequências e precisamos usar a ideia de compararmos a taxa de crescimento de logaritmo e de funções lineares (ou aplicar o Teorema de l’Hôpital numa função contínua equivalente).

Passo 2

Para usar o Teorema de l’Hôpital, estendemos an para a função contínua f(x)=ln(x+1)x+1. Quando x to infty, temos uma forma inftyinfty, então derivamos numerador e denominador:
f'(x)=ddx[ln(x+1)] g/ ddx[x+1] = 1/(x+1)1 = 1x+1

Passo 3

Como 1x+1 to 0 quando x to infty, concluímos pelo Teorema de l’Hôpital que
limx to infty f(x)=0

Passo 4

Portanto, o limite da sequência an é 0. Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

limntoinftyln(n+1)n+1=0. A sequência converge e seu limite é 0.

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