(2 pontos) O valor de k para que os polinômios p(t)=k+t-t^{2}, q(t)=k t+t^{2} e r(t)=-1+t formem uma base de V=\mathcal{P}_{2}(t) é:
a) k \neq-1
b) k \neq-\frac{1}{2}
c) k \neq 0
d) k \neq \frac{1}{2}
e) k \neq 2
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o(s) valor(es) de k para que os polinômios
formem uma base do espaço V=\mathcal{P}_{2}(t). As alternativas possíveis são:
a) k \neq -1 b) k \neq -\tfrac{1}{2} c) k \neq 0 d) k \neq \tfrac{1}{2} e) k \neq 2.
As informações dadas que vamos usar explicitamente: os três polinômios p,q,r (com k aparecendo em p e q) e o espaço alvo V=\mathcal{P}_{2}(t).
Passo 2
O que significa “formar uma base” de V? Vou explicar devagar e sem pressa, como se estivéssemos juntos na prova.
Uma base de V=\mathcal{P}_{2}(t) é um conjunto de três polinômios (porque \mathcal{P}_2 tem dimensão 3) que são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço. Na prática, para saber se três polinômios são base, verificamos se são linearmente independentes. Um procedimento padrão e prático é escrever as coordenadas desses polinômios na base canônica \{1,t,t^2\} e calcular o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são essas coordenadas: se o determinante for diferente de zero, eles são linearmente independentes e, sendo três vetores em espaço de dimensão 3, formam base.
Vou mostrar passo a passo como aplicar isso aqui — é uma receita que cai bem na prova.
Passo 3
Primeiro, escrevemos os coeficientes de cada polinômio em relação à base canônica \{1,t,t^2\}. A ordem que vou usar é (coeficiente do termo constante, coeficiente de t, coeficiente de t^2).
Para p(t)=k+t-t^{2} os coeficientes são
\text{coluna de }p = \begin{pmatrix}k \\[4pt] 1 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Para q(t)=k t+t^{2} os coeficientes são
\text{coluna de }q = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] k \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Para r(t)=-1+t os coeficientes são
\text{coluna de }r = \begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 1 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.]
Passo 4
Formamos a matriz A cujas colunas são essas coordenadas (essa é uma escolha natural; poderíamos usar linhas, daria o mesmo teste de determinante):
A=\begin{pmatrix} k & 0 & -1\\[4pt] 1 & k & 1\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Os polinômios p,q,r formam uma base de \mathcal{P}_2 se, e somente se, \det(A)\neq 0. Vou explicar por que isso é verdade de forma curta: se existir combinação linear não trivial \alpha p+\beta q+\gamma r=0, então os coeficientes (\alpha,\beta,\gamma) satisfazem A\begin{pmatrix}\alpha\\beta\\gamma\end{pmatrix}=0. Um sistema homogêneo só tem solução trivial exatamente quando \det(A)\neq 0.]
Passo 5
Agora calculamos \det(A). Usando a fórmula estándard para determinante de 3\times3:
Portanto, para qualquer k diferente de -\tfrac{1}{2} a matriz tem determinante não nulo e os polinômios são linearmente independentes, logo formam uma base de \mathcal{P}_2.
Passo 7
É instructivo ver o que acontece quando k=-\tfrac{1}{2}: então \det(A)=0 e existe dependência linear não trivial. Resolvendo rapidamente o sistema das coordenadas (já que para k=-\tfrac{1}{2} teremos um núcleo não trivial) obtemos uma relação simples, por exemplo escolhendo \alpha=1 dá \beta=1 e \gamma=-\tfrac{1}{2}, o que produz
p+q-\tfrac{1}{2}r=0
quando k=-\tfrac{1}{2}. Isso confirma concretamente que, para esse valor, os polinômios não são independentes e, portanto, não formam base.