Sejam \alpha=\{(1,0),(1,1)\} e \beta=\{(1,-1),(0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2} tal que: T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right)
a. (15) Calcule T(x, y) para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}
b(10) Qual a matriz de T na base canônica?
c. (10) Se T for inversível, calcule T^{-1}(x, y)
As perguntas são:
a) Calcular T(x,y) para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
b) Determinar a matriz de T na base canônica (ou seja, representação padrão).
c) Se T for inversível, calcular T^{-1}(x,y).]
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que significa a matriz \;T_{\beta}^{\alpha}\;. Pela convenção usada aqui, as colunas de \;T_{\beta}^{\alpha}\; são as coordenadas de T dos vetores da base \alpha expressas na base \beta. Ou seja, se escrevemos \alpha=\{a_1,a_2\} e \beta=\{b_1,b_2\} com
Observamos algo importante: [T(a_1)=(1,0)=a_1) e T(a_2)=(1,1)=a_2. Ou seja, T envia cada vetor da base \alpha em si mesmo. Como \{a_1,a_2\} é uma base de \mathbb{R}^2, conhecer T sobre a_1,a_2 determina T sobre qualquer vetor por linearidade. Vamos agora calcular T(x,y) para um vetor genérico (x,y) escrito na base canônica.
Seja v=(x,y). Primeiro escrevemos v como combinação linear dos vetores da base \alpha:
v = c_1 a_1 + c_2 a_2,
ou seja,
c_1(1,0)+c_2(1,1)=(x,y).
Isso dá o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 = x,\\[4pt] c_2 = y. \end{cases}
Da segunda equação vem c_2=y\]. Substituindo na primeira obtemos \(c_1 = x-y. Portanto as coordenadas de v na base \alpha são
Portanto, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 temos T(x,y)=(x,y). Em outras palavras, T é a transformação identidade.
Passo 6
Agora encontramos a matriz de T na base canônica. Como T é a identidade (isto é, T(e_1)=e_1 e T(e_2)=e_2), a matriz na base canônica é a matriz identidade de ordem 2:
Uma forma alternativa (didática) de ver isso por mudança de base: formam-se as matrizes cujas colunas são os vetores das bases em coordenadas canônicas,
e usa-se a relação [T]_{\text{can}}=P_{\beta}\,T_{\beta}^{\alpha}\,P_{\alpha}^{-1}. Calculando P_{\beta}T_{\beta}^{\alpha} obtemos P_{\alpha}, e multiplicando por P_{\alpha}^{-1} dá a identidade, confirmando o resultado acima.]
Passo 7
Como a matriz de T na base canônica é a identidade, seu determinante é \;1\neq 0\;, logo T é invertível. A inversa de T é a própria transformação identidade, portanto para todo (x,y) vale
T^{-1}(x,y)=(x,y).
Resposta
a) T(x,y)=(x,y)
b) \displaystyle [T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}