Sejam \alpha=\{(1,0),(1,1)\} e \beta=\{(1,-1),(0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2} tal que: T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right)
a. (15) Calcule T(x, y) para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}
b(10) Qual a matriz de T na base canônica?
c. (10) Se T for inversível, calcule T^{-1}(x, y)

Passo 1

O enunciado dá:
\alpha=\{(1,0),(1,1)\},\qquad \beta=\{(1,-1),(0,1)\}
e a matriz da transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 relativa à base de domínio \alpha e à base de contradomínio \beta é
T_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
As perguntas são:
a) Calcular T(x,y) para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
b) Determinar a matriz de T na base canônica (ou seja, representação padrão).
c) Se T for inversível, calcular T^{-1}(x,y).]

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que significa a matriz \;T_{\beta}^{\alpha}\;. Pela convenção usada aqui, as colunas de \;T_{\beta}^{\alpha}\; são as coordenadas de T dos vetores da base \alpha expressas na base \beta. Ou seja, se escrevemos \alpha=\{a_1,a_2\} e \beta=\{b_1,b_2\} com
a_1=(1,0),\quad a_2=(1,1),\quad b_1=(1,-1),\quad b_2=(0,1),
então a primeira coluna de \;T_{\beta}^{\alpha} é [T(a_1)]_{\beta} e a segunda coluna é [T(a_2)]_{\beta}. Isso significa que
[T(a_1)]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad [T(a_2)]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Agora convertemos essas coordenadas em coordenadas padrão (vetores em \mathbb{R}^2). Como [T(a_1)]_{\beta}=(1,1)^T, escrevemos
T(a_1)=1\cdot b_1 + 1\cdot b_2 = b_1+b_2.
Substituindo b_1 e b_2,
T(a_1)= (1,-1)+(0,1)=(1,0).
Analogamente, como [T(a_2)]_{\beta}=(1,2)^T,
T(a_2)=1\cdot b_1 + 2\cdot b_2 = b_1 + 2b_2 = (1,-1)+2(0,1)=(1,1).]

Passo 3

Observamos algo importante: [T(a_1)=(1,0)=a_1) e T(a_2)=(1,1)=a_2. Ou seja, T envia cada vetor da base \alpha em si mesmo. Como \{a_1,a_2\} é uma base de \mathbb{R}^2, conhecer T sobre a_1,a_2 determina T sobre qualquer vetor por linearidade. Vamos agora calcular T(x,y) para um vetor genérico (x,y) escrito na base canônica.
Seja v=(x,y). Primeiro escrevemos v como combinação linear dos vetores da base \alpha:
v = c_1 a_1 + c_2 a_2,
ou seja,
c_1(1,0)+c_2(1,1)=(x,y).
Isso dá o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 = x,\\[4pt] c_2 = y. \end{cases}
Da segunda equação vem c_2=y\]. Substituindo na primeira obtemos \(c_1 = x-y. Portanto as coordenadas de v na base \alpha são
[v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x-y\\[4pt]y\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicamos a matriz \;T_{\beta}^{\alpha}\; às coordenadas de v na base \alpha para obter as coordenadas de T(v) na base \beta:
[T(v)]_{\beta}=T_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\alpha} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-y\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Calculando a multiplicação de matrizes:
[T(v)]_{\beta}= \begin{pmatrix} 1\cdot(x-y)+1\cdot y\\[6pt] 1\cdot(x-y)+2\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[4pt] x+y \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora reconvertemos [T(v)]_{\beta} em coordenadas padrão, ou seja,
T(v)= x\cdot b_1 + (x+y)\cdot b_2.
Substituindo b_1=(1,-1) e b_2=(0,1),
T(v)= x(1,-1) + (x+y)(0,1) = (x,-x)+(0,x+y) = (x, -x + x + y) = (x,y).
Portanto, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 temos T(x,y)=(x,y). Em outras palavras, T é a transformação identidade.

Passo 6

Agora encontramos a matriz de T na base canônica. Como T é a identidade (isto é, T(e_1)=e_1 e T(e_2)=e_2), a matriz na base canônica é a matriz identidade de ordem 2:
[T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Uma forma alternativa (didática) de ver isso por mudança de base: formam-se as matrizes cujas colunas são os vetores das bases em coordenadas canônicas,
P_{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad P_{\beta}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix},
e usa-se a relação [T]_{\text{can}}=P_{\beta}\,T_{\beta}^{\alpha}\,P_{\alpha}^{-1}. Calculando P_{\beta}T_{\beta}^{\alpha} obtemos P_{\alpha}, e multiplicando por P_{\alpha}^{-1} dá a identidade, confirmando o resultado acima.]

Passo 7

Como a matriz de T na base canônica é a identidade, seu determinante é \;1\neq 0\;, logo T é invertível. A inversa de T é a própria transformação identidade, portanto para todo (x,y) vale
T^{-1}(x,y)=(x,y).

Resposta

a) T(x,y)=(x,y)
b) \displaystyle [T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
c) T^{-1}(x,y)=(x,y)]

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