(2 pontos) Considere os 3 vetores em \mathcal{M}_{22} :
M_{1}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 3 \\\\ 3 & 3 \end{array}\right], \quad M_{2}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad M_{3}=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 0 & 5 \end{array}\right]
Qual das afirmações a seguir está correta?
a) As matrizes não são linearmente independentes e formam uma base para \mathcal{M}_{22}
b) As matrizes são linearmente independentes e formam uma base para \mathcal{M}_{22}
c) As matrizes não são linearmente independentes e não formam uma base para \mathcal{M}_{22}
d) As matrizes são linearmente independentes e não formam uma base para \mathcal{M}_{22}

Passo 1

O enunciado fornece três matrizes em \mathcal{M}_{22}:
M_{1}=\begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix},\qquad M_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad M_{3}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
Pede-se identificar qual das quatro alternativas é correta, ou seja:
a) as matrizes não são linearmente independentes e formam uma base para \mathcal{M}_{22};
b) as matrizes são linearmente independentes e formam uma base para \mathcal{M}_{22};
c) as matrizes não são linearmente independentes e não formam uma base para \mathcal{M}_{22};
d) as matrizes são linearmente independentes e não formam uma base para \mathcal{M}_{22}.
Informações relevantes dadas: as três matrizes M_{1},M_{2},M_{3} explicitadas acima. Não há mais dados externos.]

Passo 2

Primeiro vamos verificar se as matrizes são linearmente independentes. Vou explicar o que isso significa e como checar de forma prática.
Definição prática de independência linear (explicada devagar): um conjunto de vetores (ou matrizes, que aqui são vetores em um espaço de dimensão finita) é linearmente independente se a única combinação linear que dá a matriz nula é a combinação trivial, isto é, todos os coeficientes são zero. Em símbolos: aM_{1}+bM_{2}+cM_{3}=0 implica a=b=c=0. Para checar, colocamos a combinação linear igual à matriz zero e igualamos as entradas correspondentes.

Passo 3

Escrevemos a combinação linear geral e igualamos à matriz nula:
aM_{1}+bM_{2}+cM_{3}= a\begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Agora somamos as entradas correspondentes para obter um sistema de equações para a,b,c.]

Passo 4

Somando as entradas, obtemos a matriz das entradas combinadas:
\begin{pmatrix} 3a+0b+2c & 3a+b+0c\\[4pt] 3a+b+0c & 3a+0b+5c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema de equações (uma por cada entrada):
\begin{aligned} 3a+2c &= 0,\\[4pt] 3a+b &= 0,\\[4pt] 3a+b &= 0,\\[4pt] 3a+5c &= 0. \end{aligned}
Note que a segunda e a terceira equação são idênticas (vem da simetria das posições (1,2) e (2,1)), então efetivamente temos três equações distintas.]

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo, mastigando as contas:
Subtraindo a primeira equação da quarta:
(3a+5c)-(3a+2c)=3c=0 \quad\Rightarrow\quad c=0.
Com c=0, a primeira equação dá
3a+2\cdot 0=0 \quad\Rightarrow\quad 3a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Com a=0, a segunda equação dá
3\cdot 0 + b =0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Portanto a única solução é a=b=c=0. Conclusão: as três matrizes são linearmente independentes.

Passo 6

Agora vamos analisar se elas formam uma base de \mathcal{M}_{22}. Vou explicar o conceito de base e a informação chave que precisamos.
Definição prática de base (explicada): uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que (i) são linearmente independentes e (ii) geram (ouspan) todo o espaço, ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear deles. Um fato muito útil: a dimensão do espaço nos dá o número de vetores necessários para uma base. Para \mathcal{M}_{22} (matrizes 2\times2), a dimensão é 4, porque uma matriz 2\times2 tem quatro entradas livres. Por exemplo, a base padrão é
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
quatro vetores independentes que geram todo \mathcal{M}_{22}.]

Passo 7

Aplicando esse fato: uma base de \mathcal{M}_{22} precisa ter exatamente 4 vetores linearmente independentes. Aqui temos apenas 3 vetores. Mesmo sendo linearmente independentes (como mostramos), três vetores não podem gerar todo o espaço de dimensão 4. Logo, nosso conjunto não é uma base porque não satisfaz a condição de gerar \mathcal{M}_{22}.

Resposta

d)

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