Qual das afirmações a seguir está correta?
a) As matrizes não são linearmente independentes e formam uma base para \mathcal{M}_{22}
b) As matrizes são linearmente independentes e formam uma base para \mathcal{M}_{22}
c) As matrizes não são linearmente independentes e não formam uma base para \mathcal{M}_{22}
d) As matrizes são linearmente independentes e não formam uma base para \mathcal{M}_{22}
Passo 1
O enunciado fornece três matrizes em \mathcal{M}_{22}:
Pede-se identificar qual das quatro alternativas é correta, ou seja:
a) as matrizes não são linearmente independentes e formam uma base para \mathcal{M}_{22};
b) as matrizes são linearmente independentes e formam uma base para \mathcal{M}_{22};
c) as matrizes não são linearmente independentes e não formam uma base para \mathcal{M}_{22};
d) as matrizes são linearmente independentes e não formam uma base para \mathcal{M}_{22}.
Informações relevantes dadas: as três matrizes M_{1},M_{2},M_{3} explicitadas acima. Não há mais dados externos.]
Passo 2
Primeiro vamos verificar se as matrizes são linearmente independentes. Vou explicar o que isso significa e como checar de forma prática.
Definição prática de independência linear (explicada devagar): um conjunto de vetores (ou matrizes, que aqui são vetores em um espaço de dimensão finita) é linearmente independente se a única combinação linear que dá a matriz nula é a combinação trivial, isto é, todos os coeficientes são zero. Em símbolos: aM_{1}+bM_{2}+cM_{3}=0 implica a=b=c=0. Para checar, colocamos a combinação linear igual à matriz zero e igualamos as entradas correspondentes.
Passo 3
Escrevemos a combinação linear geral e igualamos à matriz nula:
Portanto a única solução é a=b=c=0. Conclusão: as três matrizes são linearmente independentes.
Passo 6
Agora vamos analisar se elas formam uma base de \mathcal{M}_{22}. Vou explicar o conceito de base e a informação chave que precisamos.
Definição prática de base (explicada): uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que (i) são linearmente independentes e (ii) geram (ouspan) todo o espaço, ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear deles. Um fato muito útil: a dimensão do espaço nos dá o número de vetores necessários para uma base. Para \mathcal{M}_{22} (matrizes 2\times2), a dimensão é 4, porque uma matriz 2\times2 tem quatro entradas livres. Por exemplo, a base padrão é
quatro vetores independentes que geram todo \mathcal{M}_{22}.]
Passo 7
Aplicando esse fato: uma base de \mathcal{M}_{22} precisa ter exatamente 4 vetores linearmente independentes. Aqui temos apenas 3 vetores. Mesmo sendo linearmente independentes (como mostramos), três vetores não podem gerar todo o espaço de dimensão 4. Logo, nosso conjunto não é uma base porque não satisfaz a condição de gerar \mathcal{M}_{22}.